La regla de la cadena, $(f\circ g)' = f'(g)\,g'$, da la derivada de una composición de funciones. Se deduce con rigor de la definición de derivada mediante un término de error que evita dividir por un incremento que puede anularse, y es la que justifica el cambio de variable en las integrales.
La integración por partes no es una regla aparte: se deduce de la derivada de un producto. Integrando la fórmula $(uv)' = u'v + uv'$ y despejando una de las integrales sale, sin más, $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
Un sistema lineal $Ax=b$ se resuelve por tres caminos que llevan al mismo sitio: la eliminación de Gauss-Jordan, la regla de Cramer (cocientes de determinantes) y el despeje con la matriz inversa. De dónde sale cada uno y cuándo conviene.