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La regla de la cadena: la derivada de una composición

2026-08-09

La regla de la cadena da la derivada de una composición de funciones. Si $y = f(u)$ y $u = g(x)$, entonces $y = f(g(x))$ es función de $x$ y su derivada es $$\bigl(f\circ g\bigr)'(x) = f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).$$ En notación de Leibniz se escribe de forma especialmente sugerente, $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$, como si las diferenciales se «cancelaran»: es una regla mnemotécnica cómoda, aunque esa cancelación no deba tomarse de forma literal.

Cómo se aplica. Se identifican la función exterior $f$ y la interior $g$; se deriva la exterior dejando la interior intacta y se multiplica por la derivada de la interior. Por ejemplo, para $y = \sin(\ln x)$ la exterior es el seno y la interior $\ln x$: $$\frac{d}{dx}\sin(\ln x) = \cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x} = \frac{\cos(\ln x)}{x}.$$ Del mismo modo, $\frac{d}{dx}\,e^{x^{2}} = e^{x^{2}}\cdot 2x$ y $\frac{d}{dx}\,(x^{2}+1)^{5} = 5\,(x^{2}+1)^{4}\cdot 2x$. La «regla de la potencia» compuesta, $\frac{d}{dx}\,g(x)^{n} = n\,g(x)^{n-1}g'(x)$, no es más que la regla de la cadena con función exterior $u^{n}$.

Por qué funciona / De dónde sale. La tentación es escribir el cociente incremental multiplicando y dividiendo por el incremento de la interior, $$\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} = \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h},$$ y hacer $h\to0$. El argumento es correcto en espíritu, pero tiene una grieta: el denominador $g(x+h)-g(x)$ puede anularse para valores de $h$ arbitrariamente pequeños, y entonces la primera fracción no está definida. La demostración rigurosa evita esa división. Como $f$ es derivable en $u=g(x)$, se define el término de error $$E(k) = \frac{f(u+k)-f(u)}{k}-f'(u)\quad(k\neq0),\qquad E(0)=0,$$ que cumple $E(k)\to0$ cuando $k\to0$ —esto es, $E$ es continua en $0$—. Despejando se obtiene una identidad válida también para $k=0$: $$f(u+k)-f(u) = \bigl(f'(u)+E(k)\bigr)\,k.$$ Tomando $k = g(x+h)-g(x)$ y dividiendo por $h$, $$\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} = \bigl(f'(g(x))+E(k)\bigr)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.$$ Al hacer $h\to0$: como $g$ es derivable —y por tanto continua—, $k\to0$ y en consecuencia $E(k)\to0$; y el cociente $\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\to g'(x)$. El límite es, pues, $f'(g(x))\cdot g'(x)$, sin ninguna división problemática. $\blacksquare$

Composiciones más largas y relación con la sustitución. La regla se encadena: para $f\bigl(g(h(x))\bigr)$ se deriva capa a capa, $$\frac{d}{dx}f\bigl(g(h(x))\bigr) = f'\bigl(g(h(x))\bigr)\cdot g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).$$ Leída al revés, la regla de la cadena es la que justifica el cambio de variable en las integrales: si $u=g(x)$, entonces $du = g'(x)\,dx$, y $\int f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$ no es otra cosa que integrar la igualdad de la cadena.

En la calculadora de derivadas de MathOperator, la regla de la cadena aparece explícita cada vez que la función es una composición: se señalan la función exterior y la interior y se muestra el producto de sus derivadas. Pueden probarse sin(log(x)), e^(x^2), (x^2+1)^5 o arctan(1/x).