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El determinante por cofactores y la matriz inversa por la adjunta

2026-09-02

Dos de las cuentas más repetidas del álgebra lineal —el determinante y la matriz inversa— salen del mismo objeto: los cofactores. Este artículo define menores y cofactores, demuestra por qué el desarrollo de Laplace da el determinante desarrollando por cualquier fila o columna, y de ahí deduce la inversa por la adjunta y la fórmula directa del $2\times2$.

Menores y cofactores. Dada una matriz cuadrada $A=(a_{ij})$ de orden $n$, el menor $M_{ij}$ es el determinante de la submatriz que queda al tachar la fila $i$ y la columna $j$. El cofactor es ese menor con un signo alternado: $$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$$ Los signos forman un tablero de ajedrez que empieza en $+$ arriba a la izquierda; ese factor $(-1)^{i+j}$ es el que hace que la fórmula respete el carácter alternado del determinante (intercambiar dos filas le cambia el signo).

Desarrollo de Laplace. Fijada una fila $i$ cualquiera, $$\det A=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\,C_{ij},$$ y lo mismo recorriendo una columna. Que el resultado no dependa de la fila elegida no es casualidad: el determinante queda caracterizado por ser la única función de las filas que es multilineal, alternada y vale $1$ en la identidad; el desarrollo por cofactores cumple esas tres propiedades para cada fila, así que todas las expansiones coinciden. En la práctica conviene desarrollar por la fila o columna con más ceros: cada cero elimina un menor entero.

La adjunta y por qué da la inversa. Se llama adjunta a la traspuesta de la matriz de cofactores, $\operatorname{adj}(A)=C^{T}$, es decir $[\operatorname{adj}(A)]_{jk}=C_{kj}$. La identidad clave es $$A\,\operatorname{adj}(A)=(\det A)\,I.$$ La demostración es corta: la entrada $(i,k)$ del producto vale $\sum_{j}a_{ij}C_{kj}$. Si $i=k$ eso es exactamente el desarrollo de Laplace, y da $\det A$. Si $i\neq k$, esa suma es el desarrollo del determinante de la matriz que resulta de sustituir la fila $k$ por la fila $i$: una matriz con dos filas repetidas, cuyo determinante es $0$. Fuera de la diagonal todo se anula, y queda $(\det A)I$.

La inversa. Si $\det A\neq0$, dividir la identidad anterior entre $\det A$ despeja $$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A).$$ Ahí se ve de golpe el criterio de invertibilidad: una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo. De paso, esta misma identidad es la que hace funcionar la regla de Cramer.

El caso $2\times2$. Para $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ los cofactores son $C_{11}=d$, $C_{12}=-c$, $C_{21}=-b$ y $C_{22}=a$; al trasponer, $\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ y por tanto $$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.$$ La regla de «cambiar la diagonal, cambiar el signo a la otra y dividir entre el determinante» no es un truco suelto: es el caso $n=2$ de la adjunta.

Cuándo conviene. El desarrollo por cofactores tiene un coste que crece como $n!$, así que para matrices grandes la vía práctica es la eliminación de Gauss (coste $n^{3}$). Los cofactores siguen siendo la herramienta estructural: dan la fórmula cerrada de la inversa, la regla de Cramer y el criterio $\det A\neq0$, y son perfectamente cómodos en $2\times2$ y $3\times3$.

En MathOperator, la calculadora de determinante desarrolla los menores y cofactores uno a uno, y la de matriz inversa muestra la adjunta y la división por el determinante. Puedes probar [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]] o [[2,1],[1,2]].