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El cambio logarítmico: derivar y hallar límites de potencias variables

2026-08-10

En una potencia de base y exponente variables, $y=u(x)^{v(x)}$, no vale ni la regla de la potencia (el exponente no es constante) ni la de la exponencial (la base no es constante). El recurso es tomar logaritmos, que baja el exponente y convierte la potencia en un producto: $$\ln y = v(x)\,\ln u(x).$$ A partir de ahí, para derivar se deriva y para el límite se toma el límite —en ambos casos sobre una expresión ya manejable—.

Derivación logarítmica. Derivando $\ln y = v\ln u$ respecto de $x$ (regla de la cadena a la izquierda, del producto a la derecha): $\dfrac{y'}{y} = v'\ln u + v\,\dfrac{u'}{u}$, de donde $$y' = u^{v}\left(v'\ln u + v\,\frac{u'}{u}\right).$$ Por ejemplo, para $y=x^{x}$ ($u=v=x$) sale $y' = x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr)$.

Límites de formas de potencia. Las indeterminaciones $1^{\infty}$, $0^{0}$ e $\infty^{0}$ se atacan igual: se llama $L$ al límite, se toma $\ln L = \lim v\ln u$ (que suele quedar en $0/0$ o $0\cdot\infty$, tratable por L'Hôpital o equivalencias) y se recupera $L=e^{\,\ln L}$. Por ejemplo, en $(1+1/x)^{x}$ cuando $x\to\infty$: $\ln L=\lim x\ln(1+1/x)=1$, luego $L=e$.

Por qué funciona / De dónde sale. El logaritmo es continuo y derivable en $(0,\infty)$ y su inversa, la exponencial, es continua en todo $\mathbb{R}$. La continuidad de $e^{x}$ es la que permite «sacar» el límite del exponente, $\lim e^{g(x)} = e^{\lim g(x)}$, y la derivabilidad del logaritmo es la que legitima derivar $\ln y$. Tomar logaritmos no cambia el problema: solo lo traduce a uno —un producto— que sí sabemos atacar.

En MathOperator, la derivada de $x^{x}$ se resuelve por derivación logarítmica paso a paso, y el límite de las formas de potencia toma logaritmos y aplica L'Hôpital o equivalencias. Pueden probarse x^x, sin(x)^cos(x) (derivadas) o (1+1/x)^x at oo, x^x at 0 (límites).