Límite

¿Qué es un límite?

El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a un valor $a$ describe a qué se acerca la función cerca de ese punto, aunque no esté definida exactamente en él. Si el límite por la izquierda y por la derecha no coinciden, el límite no existe. El de una sucesión $a_n$ es el caso discreto: a qué se acerca según $n$ crece sin tope.

Cómo resolver un límite paso a paso

El procedimiento estándar: primero la sustitución directa; si el resultado es una indeterminación ($\tfrac{0}{0}$, $\tfrac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$), se levanta con equivalencias/infinitésimos (sustituir cada factor de un producto por uno más simple: $\sin u\sim u$…), factorizando y simplificando, con el desarrollo en serie de Taylor o con la regla de L’Hôpital (derivar numerador y denominador), reaplicada mientras persista la indeterminación. Las formas de potencia $1^{\infty}$, $0^0$ e $\infty^0$ se resuelven tomando logaritmos: $\ln L = \lim h\ln g$, que vuelve a ser un cociente.

Sucesiones: por qué no basta con L’Hôpital

L’Hôpital y Taylor usan derivadas, y una sucesión $a_n$ no se puede derivar respecto a $n$ (es discreta). El truco es la extensión continua: se considera $f(x)$ —la misma fórmula, con $x$ real— y, si $\lim_{x\to\infty} f(x)$ existe, el de la sucesión es el mismo (es una restricción suya a los naturales). Esta calculadora muestra ese argumento explícitamente antes de aplicar L’Hôpital sobre una sucesión; las equivalencias, en cambio, no necesitan justificación —no usan derivadas— y valen igual en ambos casos.

Ejemplos que puedes probar

Escribe sin(x)/x at 0 (vale $1$, por equivalencias), (1-cos(x))/x^2 at 0 (vale $\tfrac{1}{2}$, vía serie de Taylor), (1+1/x)^x at oo (el límite que define el número $e$), x^x at 0+ (forma $0^0$), tanh(x)/abs(x) at 0 (los laterales difieren y no existe) o, ya con sucesiones, (1+1/n)^n at oo y n!/n^n at oo (con la fórmula de Stirling).

Preguntas frecuentes

¿Cuándo puede aplicarse L’Hôpital? Solo sobre las formas $\tfrac{0}{0}$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$; las demás indeterminaciones deben transformarse antes. ¿Puede aplicarse varias veces? Sí, mientras la indeterminación persista — y debe pararse en cuanto el cociente converge. ¿Cómo pido el límite de una sucesión? Usa n como variable (p. ej. n!/n^n at oo): solo tiene sentido cuando $n\to\infty$. ¿Qué pasa con los límites laterales? Se calculan por separado con at 0+ y at 0-; si difieren, el límite no existe.

Para qué sirve

Los límites son la base del cálculo: definen la continuidad, la derivada y la integral, y permiten estudiar el comportamiento de una función (o una sucesión) en el infinito o cerca de sus asíntotas.

Ejemplos

Indeterminación 0/0 (equivalencias, L’Hôpital, Taylor)

• sin(x)/x at 0
• (x^2-1)/(x-1) at 1
• (1-cos(x))/x^2 at 0
• (x*sin(x)-x+log(x+1))/x^2 at 0

Formas de potencia (1^∞, 0^0)

• (1+1/x)^x at oo
• x^x at 0+
• (cos(x))^(1/x^2) at 0
• (1+sin(x))^(1/x) at 0

Indeterminación ∞−∞

• sqrt(x^2+3*x-10)-x at oo
• (x^3+30*x^2-10)^(1/3)-x at oo
• ln(3*x)-ln(x) at oo
• 1/sin(x)^2-1/sinh(x)^2 at 0

Sucesiones (extensión continua, Stirling)

• (1+1/n)^n at oo
• n!/n^n at oo
• sqrt(n^2+a*n-10)-n at oo
• n^(1/n) at oo

Límites laterales

• 1/x at 0
• abs(x)/x at 0
• exp(1/x) at 0
• 1/(x-1) at 1