Convolución

Convoluciona dos señales: (f * g)(t) = ∫ f(τ)·g(t−τ) dτ. Desliza una función reflejada sobre la otra y mira cómo el área del solape va dibujando el resultado.

¿Qué es una convolución?

La convolución mezcla dos funciones deslizando una sobre la otra: $(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\, g(t - \tau)\, d\tau.$ El truco está en $g(t-\tau)$ : es $g$ reflejada ( $\tau \to -\tau$ ) y desplazada una cantidad $t$ . Para cada $t$ , multiplicas ambas y sumas (integras) lo que se solapa. Ese área del solape es el valor de la convolución en ese $t$ .

¿Por qué importa?

Es la operación central de los sistemas lineales: la salida de un sistema es la convolución de la entrada con su respuesta al impulso. Aparece en filtros (audio, imagen), en probabilidad (la densidad de la suma de dos variables independientes es la convolución de sus densidades) y en las redes neuronales convolucionales. Además convierte productos en transformadas: $\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{f\}\cdot\mathcal{L}\{g\}$ .

El truco de los límites

La integral va de $-\infty$ a $\infty$ , pero casi nunca hace falta recorrerla entera: solo cuenta donde ambas funciones son no nulas. Si las dos son causales (valen 0 para $t<0$ , es decir llevan el escalón $u(t)$ ), entonces $f(\tau)=0$ si $\tau<0$ y $g(t-\tau)=0$ si $\tau>t$ : el solape vive únicamente en $0 \le \tau \le t$ , y la impropia se convierte en la definida $\int_0^t$ . Eso es justo lo que hace esta calculadora, y por eso puede desarrollarte la integral paso a paso.

Propiedades

Es conmutativa ( $f * g = g * f$ : da igual cuál reflejes, el solape cambia de forma pero su área no), asociativa y distributiva respecto de la suma. La delta de Dirac es su elemento neutro: $f * \delta = f$ .