Sumatorios

¿Qué es un sumatorio?

Un sumatorio $\sum$ suma los términos de una sucesión. Si el número de términos es infinito hablamos de una serie, que puede converger a un valor finito o diverger. El sumatorio es, en cierto sentido, la versión discreta de la integral.

¿Cómo se calcula?

MathOperator obtiene la forma cerrada y muestra la derivación honesta: calcula la suma parcial $S_N$ y toma el límite $N \to \infty$. Reconoce además series geométricas (con su condición de convergencia $|r| < 1$) y telescópicas.

Ejemplos que puedes probar

Prueba 1/n^2 (la famosa suma de Basilea, $\tfrac{\pi^2}{6}$), (1/2)^n (geométrica que vale $1$) o 1/(n*(n+1)) (telescópica que vale $1$). Puedes fijar los límites inferior y superior del sumatorio.

Para qué sirve

Las series sirven para aproximar funciones, calcular probabilidades, modelar interés compuesto y resolver problemas de física e ingeniería donde se acumulan infinitas contribuciones.

Errores comunes

Confundir la sucesión con la serie: que el término general tienda a cero no garantiza que la serie sume (la armónica $\sum 1/n$ diverge pese a que $1/n\to 0$). Y una geométrica $\sum r^n$ solo converge si $|r| < 1$; con $|r|\ge 1$ no tiene suma finita.

Ejemplos

Geométrica y telescópica

• (1/2)^n
• (1/3)^n
• 1/(n*(n+1))
• -2*sin((2*n+1)*x/2) from 0 to oo

Series notables

• 1/n^2
• 1/n^4
• 1/2^n
• 1/(n*(n+1)*(n+2))

Por residuos

• 1/(1+n^2) from 1 to oo
• (-1)^n/(1+n^2) from 0 to oo
• 1/(n^2+4) from 1 to oo
• 1/(n^4+1) from 1 to oo

Feynman discreto (regularización de Abel)

• e^(-t*n)*sin(n*x)/n
• sin(n*x)/n
• cos(n*x)/n
• sin(2*n*x)/n