Integral por residuos

¿Qué es el teorema de los residuos?

Es uno de los resultados más bellos del análisis complejo: la integral de una función a lo largo de una curva cerrada $C$ vale $$\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}(f, z_k),$$ la suma de los residuos en los polos $z_k$ encerrados por $C$. El residuo en un polo simple $z_0$ es $\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$.

¿Cómo se calcula una integral real con esto?

Para $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx$ se cierra el contorno con un semicírculo en el semiplano superior. Si el arco se anula cuando su radio crece (porque el denominador domina, o por el lema de Jordan en el caso con $\sin$/$\cos$), la integral real es igual a $2\pi i$ por la suma de los residuos de arriba (los de parte imaginaria positiva). Con $\cos(ax)$ o $\sin(ax)$ se pasa antes a $e^{iax}$ y se toma la parte real o imaginaria.

Ejemplos que puedes probar

Escribe 1/(1+x^2) (vale $\pi$), x^2/(x^4+1) (vale $\tfrac{\pi}{\sqrt2}$) o cos(x)/(1+x^2) (vale $\tfrac{\pi}{e}$). La gráfica muestra el contorno y los polos en el plano complejo.

Para qué sirve

El teorema de los residuos resuelve integrales que por métodos reales son durísimas o imposibles, y es la herramienta clave en transformadas (Fourier, Laplace), en el cálculo de sumas infinitas y en física teórica.

Errores comunes

Sumar todos los polos en vez de solo los que encierra el contorno (al cerrar por arriba, los de parte imaginaria positiva). Y aplicar el método cuando el arco no se anula: hace falta que el denominador domine, o el lema de Jordan cuando hay $e^{iax}$.

Ejemplos

Semicírculo (recta real)

• 1/(1+x^2)
• x^2/(x^4+1)
• cos(x)/(1+x^2)
• 1/(x^2+4)

Valor principal (polo real, indentado)

• sin(x)/x
• sin(x)/(x*(x^2+1))
• sin(2*x)/x
• sin(x)/(x*(x^2+4))

Circunferencia unidad

• 1/(2+cos(x)) from 0 to 2*pi
• cos(2*x)/(5-4*cos(x)) from 0 to 2*pi
• 1/(1+sin(x)^2) from 0 to 2*pi
• 1/(3+2*cos(x)) from 0 to 2*pi

Sector (cuña)

• 1/(1+x^3) from 0 to oo
• x/(1+x^4) from 0 to oo
• 1/(1+x^6) from 0 to oo
• (3*x^2+1)/(1+x^6) from 0 to oo

Ojo de cerradura (corte de rama)

• x^(-1/2)/(1+x) from 0 to oo
• sqrt(x)/((x+1)*(x+2)) from 0 to oo
• 1/(sqrt(x)*(x+3)) from 0 to oo
• x^(1/3)/(1+x)^2 from 0 to oo

Rectángulo (periodicidad imaginaria)

• e^(x/2)/(1+e^x) from -oo to oo
• 1/cosh(x) from -oo to oo
• e^(x/3)/(1+e^x) from -oo to oo
• e^(a*x)/(1+e^x) from -oo to oo