Serie de Fourier

¿Qué es una serie de Fourier?

Toda función periódica «razonable» se puede escribir como una suma de senos y cosenos: $$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos n\omega x + b_n\sin n\omega x\bigr),$$ con $\omega = 2\pi/P$ la frecuencia fundamental. Los coeficientes $a_n, b_n$ miden cuánto pesa cada armónico: son el «espectro» de la señal.

¿Cómo se calcula?

MathOperator obtiene cada coeficiente por su fórmula integral —$a_n = \tfrac{2}{P}\int f(x)\cos(n\omega x)\,dx$, y análogamente $b_n$— y la simplifica usando que $\sin(n\pi)=0$ y $\cos(n\pi)=(-1)^n$ para dejarlos como una sucesión cerrada. Detecta además la simetría: si $f$ es par no hay senos ($b_n=0$); si es impar no hay cosenos.

Ejemplos que puedes probar

Prueba x^2 (parábola, $a_n = 4(-1)^n/n^2$), x (diente de sierra), Abs(x) (onda triangular) o sign(x) (onda cuadrada). Con from a to b fijas el intervalo del periodo.

Para qué sirve

La serie de Fourier es la base del análisis de señales, la compresión de audio e imagen (JPEG, MP3), la resolución de ecuaciones en derivadas parciales (calor, ondas) y el estudio de cualquier fenómeno periódico en física e ingeniería.

Errores comunes

Ignorar la simetría: si $f$ es par sobran los senos ($b_n = 0$) y si es impar, los cosenos ($a_n = 0$); calcularlos igual es trabajo perdido. Y descuidar el periodo $P$: la frecuencia $\omega = 2\pi/P$ cambia con el intervalo elegido.

Ejemplos

Ondas clásicas (coeficientes por integral)

• x^2
• x
• Abs(x)
• sign(x)

Coeficientes finitos

• sin(2*pi*x)+3/4*cos(2*pi*x) from 0 to 1
• cos(2*pi*x) from 0 to 1
• sin(pi*x) from 0 to 2
• sin(x)+cos(2*x)

Serie de una f(e^(ix)) — base compleja

• ln(1+e^(ix)) base compleja
• 1/(1-e^(ix)/2) base compleja
• e^(e^(ix)) base compleja
• 1/(1-(e^(-ix)/3)) base compleja

La misma vía en base real (senos y cosenos)

• ln(1+e^(ix))
• e^(e^(ix))
• 1/(1-e^(ix)/2)
• 1/(1-(e^(-ix)/3))