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La linealidad: por qué la integral, la derivada y otros operadores se reparten en la suma

2026-08-24

Al derivar $x\sin(3x)-\tfrac{\ln x}{x}$ o al integrar una suma, el primer paso siempre es el mismo: separar la suma y atacar cada término por su cuenta, sacando de paso las constantes fuera del operador. Esa «regla de la suma» no es un truco de la derivada ni de la integral por separado: es una única propiedad, la linealidad, que ambos comparten con buena parte de los operadores del análisis.

Qué es un operador lineal. Un operador $T$ (algo que transforma una función en otra cosa: un número, otra función…) es lineal cuando respeta sumas y múltiplos escalares, es decir, para cualesquiera constantes $a,b$ y funciones $f,g$: $$T(a\,f+b\,g)=a\,T(f)+b\,T(g).$$ Esta única igualdad encierra las dos reglas que se usan a diario: la regla de la suma ($T(f+g)=T(f)+T(g)$, tomando $a=b=1$) y la de sacar la constante ($T(a\,f)=a\,T(f)$, tomando $b=0$).

La derivada es lineal. Se ve directamente en la definición por el cociente de diferencias. Para la suma, $$(f+g)'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(f+g)(x+h)-(f+g)(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=f'(x)+g'(x),$$ donde el paso clave es que el límite de una suma es la suma de los límites. Con el mismo argumento, $(a\,f)'=a\,f'$. Por eso una suma se deriva término a término, y un factor constante se conserva.

La integral es lineal. En la integral definida se ve desde las sumas de Riemann: como cada suma reparte $\sum\bigl(f(x_i)+g(x_i)\bigr)\Delta x=\sum f(x_i)\Delta x+\sum g(x_i)\Delta x$, al tomar el límite queda $$\int_a^b\!\bigl(f+g\bigr)\,dx=\int_a^b\! f\,dx+\int_a^b\! g\,dx.$$ Para la indefinida basta la linealidad de la derivada: si $F'=f$ y $G'=g$, entonces $(F+G)'=f+g$, así que $F+G$ es una primitiva de $f+g$; es decir, $\int(f+g)=\int f+\int g$.

Todo hereda de la linealidad del límite. No es casualidad que derivada e integral compartan la propiedad: ambas se definen como límites, y el límite ya es lineal ($\lim(f+g)=\lim f+\lim g$ cuando los dos existen). Esa raíz común explica por qué la linealidad reaparece por todo el cálculo.

Otros operadores lineales. La misma regla vale, y por el mismo motivo, en muchos sitios: el sumatorio de una serie, $\sum (a_n+b_n)=\sum a_n+\sum b_n$; la transformada de Laplace, $\mathcal{L}\{a\,f+b\,g\}=a\,\mathcal{L}\{f\}+b\,\mathcal{L}\{g\}$; la transformada de Fourier y la serie de Fourier (cuyos coeficientes son integrales, ya lineales). En cambio, no son lineales operaciones como elevar al cuadrado o multiplicar dos funciones: $(fg)'\neq f'g'$ y $\int fg\neq\int f\int g$. Por eso esos casos tienen sus propias reglas (producto, cociente, cadena, partes…) y no una «regla de la suma».

En las calculadoras de integral y derivada de MathOperator, cuando el integrando o la función es una suma, el primer paso del desarrollo es «Linealidad: separa la suma»: reparte en términos —cada uno rotulado con su expresión— y resuelve cada uno con el método que le toque. Puedes probar x*sin(3x) - ln(x)/x + ln(x)^4/x o derivar x^x + x*sin(3x) + 1/(1+x^2).