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Sustitución trigonométrica e hiperbólica para raíces cuadráticas

2026-08-10

Cuando en el integrando aparece una raíz de una cuadrática, un cambio trigonométrico (o hiperbólico) convierte la raíz en una función sin radical, aprovechando las identidades pitagóricas. Hay tres patrones básicos según el signo.

Los tres casos. Para $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ se toma $x=a\sin\theta$, y por $1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta$ la raíz se vuelve $a\cos\theta$. Para $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ se toma $x=a\tan\theta$ (o $x=a\sinh t$), y por $1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$ la raíz se vuelve $a\sec\theta$. Para $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ se toma $x=a\sec\theta$ (o $x=a\cosh t$), y por $\sec^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta$ la raíz se vuelve $a\tan\theta$.

Por qué funciona / De dónde sale. La clave es que la identidad pitagórica es un cuadrado perfecto bajo la raíz: al sustituir, $a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta=a^{2}\cos^{2}\theta$, y la raíz de un cuadrado sale limpia, $\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta}=a\lvert\cos\theta\rvert$. Así desaparece el radical y queda una integral trigonométrica ordinaria. Las versiones hiperbólicas usan $\cosh^{2}t-\sinh^{2}t=1$ con la misma idea.

Deshacer el cambio. Al final se vuelve a $x$ construyendo un triángulo rectángulo con la relación del cambio (por ejemplo $\sin\theta=x/a$), del que se leen $\cos\theta$, $\tan\theta$, etc. en función de $x$.

En la calculadora de integrales de MathOperator, estas integrales muestran el cambio elegido, cómo se racionaliza la raíz y el regreso a la variable original. Pueden probarse sqrt(a^2-x^2), 1/sqrt(1-x^2) o sqrt(1+x^2).