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Las reglas de Bioche: qué cambio de variable elegir en integrales trigonométricas

2026-08-11

Para integrar una fracción de senos y cosenos, $\int R(\sin x,\cos x)\,dx$, el cambio de Weierstrass $t=\tan\tfrac{x}{2}$ siempre funciona, pero suele subir el grado del denominador (a menudo a un polinomio de grado cuatro) y complica las fracciones simples. Las reglas de Bioche dicen, mirando la simetría del integrando, qué cambio produce la fracción racional más sencilla.

El criterio. Se examina el diferencial $\omega = f(x)\,dx$ (con $f=R(\sin x,\cos x)$) bajo tres transformaciones, y se elige el primer cambio cuya simetría se cumpla: si $\omega$ no cambia con $x\mapsto -x$, entonces $u=\cos x$; si no cambia con $x\mapsto \pi-x$, entonces $u=\sin x$; si no cambia con $x\mapsto \pi+x$, entonces $t=\tan x$. Si se cumplen dos a la vez, $u=\cos 2x$ es aún más simple. Y si ninguna se cumple —típicamente sumas lineales $a+b\cos x+c\sin x$—, se recurre al universal $t=\tan\tfrac{x}{2}$.

Por qué funciona / De dónde sale. Cada simetría del diferencial equivale a que $\omega$ se exprese exactamente en función de esa variable. Por ejemplo, que $\omega$ sea invariante bajo $x\mapsto\pi+x$ (periodo $\pi$) significa que depende solo de $\tan x$, y entonces $\sin^2 x=\tfrac{t^2}{1+t^2}$, $\cos^2 x=\tfrac{1}{1+t^2}$, $dx=\tfrac{dt}{1+t^2}$ lo convierten en una racional en $t$ sin elevar el grado. Así, $\int\dfrac{dx}{1+\sin^2 x}$ se vuelve $\int\dfrac{dt}{1+2t^2}=\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan(\sqrt2\,\tan x)$, mientras que Weierstrass daría un cociente de grado cuatro.

Caso hiperbólico. Para una fracción de $\cosh x$ y $\sinh x$ valen las mismas reglas de simetría, con los cambios $u=\cosh x$, $u=\sinh x$, $u=\tanh x$ o el universal $u=\tanh\tfrac{x}{2}$. En realidad, la sustitución $u=e^{x}$ siempre reduce una racional en $\cosh,\sinh$ a una racional ordinaria.

En la calculadora de integrales de MathOperator, las fracciones trigonométricas se resuelven con el cambio que dictan estas reglas —y solo se recurre a Weierstrass cuando no hay simetría—. Pueden probarse 1/(1+sin(x)^2), sin(x)^2/cos(x)^4 o cos(x)/(1+sin(x)^2).