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Sistemas de ecuaciones lineales: Gauss, Cramer y matriz inversa

2026-08-07

Un sistema de ecuaciones lineales puede escribirse en forma matricial como $$A\,x = b,$$ donde $A$ es la matriz de coeficientes, $x$ el vector de incógnitas y $b$ el de términos independientes. Según los rangos de $A$ y de la matriz ampliada $[A\mid b]$, el sistema tiene solución única, infinitas o ninguna (teorema de Rouché-Frobenius). Cuando la solución es única, hay tres métodos clásicos que llegan a ella por caminos distintos.

Eliminación de Gauss-Jordan. Es el método general, válido para cualquier sistema. Se escribe la matriz ampliada $[A\mid b]$ y se aplican operaciones elementales por filas —intercambiar dos filas, multiplicar una por un escalar no nulo, sumar a una fila un múltiplo de otra— hasta dejar la parte de $A$ como la identidad. Estas operaciones no cambian el conjunto de soluciones, porque equivalen a recombinar las ecuaciones; al terminar, la columna de la derecha es directamente la solución. Es el más eficiente cuando el sistema es grande.

Regla de Cramer. Si $A$ es cuadrada y $\det A\neq 0$, cada incógnita es un cociente de determinantes: $$x_i = \frac{\det A_i}{\det A},$$ donde $A_i$ es $A$ con su columna $i$ sustituida por $b$. Sale de la propia definición: al desarrollar $\det A_i$ por esa columna y usar la linealidad del determinante, aparece exactamente $x_i\,\det A$. Es muy cómoda en sistemas $2\times 2$ y $3\times 3$ —una fórmula cerrada por incógnita—, pero su coste crece muy rápido con el tamaño, porque exige calcular un determinante por cada variable.

Matriz inversa. También con $A$ cuadrada y regular, despejar es formalmente inmediato: de $Ax=b$ se pasa a $$x = A^{-1}\,b,$$ multiplicando por la inversa a la izquierda. El trabajo se traslada a calcular $A^{-1}$ (por la adjunta o por Gauss-Jordan). Compensa sobre todo cuando hay que resolver varios sistemas con la misma matriz $A$ y distintos $b$: la inversa se calcula una vez y se reutiliza. La condición $\det A\neq 0$ es la misma en Cramer y en la inversa —si el determinante se anula, la matriz no es invertible y el sistema no tiene solución única—.

La calculadora de sistemas de MathOperator clasifica el sistema por rangos y desarrolla los tres métodos en paralelo, con cada operación por filas y cada determinante explicados; los mismos motores de determinante e inversa se reutilizan, además, al imponer condiciones iniciales en ecuaciones diferenciales y recurrencias, y en la variación de parámetros. Puede probarse x + y = 3 ; x - y = 1 o un sistema $3\times 3$.