Una integral $\int_0^{2\pi} R(\cos\theta,\sin\theta)\,d\theta$ se vuelve una integral de contorno sobre $|z|=1$ con $z=e^{i\theta}$: $\cos\theta=\tfrac{z+1/z}{2}$, $\sin\theta=\tfrac{z-1/z}{2i}$, $d\theta=\tfrac{dz}{iz}$.
El denominador $x^n+1$ tiene simetría de rotación de orden $n$. Se cierra $\int_0^\infty p(x)/(x^n+1)\,dx$ con una cuña de ángulo $2\pi/n$: en el rayo de vuelta el denominador no cambia y el numerador se escala, y se despeja la integral.
Cuando hay un polo simple sobre el eje real (como en $\sin(x)/x$), se rodea con un semicírculo pequeño que recorre media vuelta y aporta $\pi i\operatorname{Res}$ —la mitad—. Así $\int_{-\infty}^{\infty}\sin(x)/x\,dx=\pi$.