Para $\int_0^\infty x^{s-1}R(x)\,dx$ con $s$ no entero, $x^{s-1}$ es multivaluada: se pone un corte de rama en el eje real positivo y se rodea con un «ojo de cerradura». Arriba y abajo del corte se difieren en un factor $e^{2\pi i s}$.
Si $f(x+iT)=\lambda\,f(x)$ (una traslación imaginaria que solo multiplica por una constante), se cierra $\int_{-\infty}^{\infty} f$ con un rectángulo de altura $T$: el lado de arriba vale $\lambda$ por el de abajo, y $(1-\lambda)\int=2\pi i\sum\operatorname{Res}$.
La sustitución $u=g(x)$ transforma $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx$ en $\int f(u)\,du$. No es un truco suelto: es la regla de la cadena leída al revés, y por eso funciona siempre que la derivada de la parte interior aparezca como factor.