← Blog

El cambio de variable en integrales (sustitución)

2026-08-10

El cambio de variable —o sustitución— es la técnica de integración más versátil. Si en el integrando aparece una función $g(x)$ junto a su derivada $g'(x)$ (salvo una constante), el cambio $u=g(x)$, $du=g'(x)\,dx$, lo transforma en una integral más simple: $$\int f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.$$

Cómo elegir la $u$. Se busca una función interior cuya derivada esté presente en el integrando (aunque sea multiplicada por una constante, que se ajusta al pasar a $du$). Por ejemplo, en $\int 2x\,\cos(x^{2})\,dx$ se toma $u=x^{2}$ (con $du=2x\,dx$) y queda $\int\cos u\,du=\sin(x^{2})$; en $\int \dfrac{\sin x}{1+\cos x}\,dx$ se toma $u=\cos x$ (con $du=-\sin x\,dx$) y queda $\int \dfrac{-1}{1+u}\,du=-\ln\lvert 1+\cos x\rvert$.

Por qué funciona / De dónde sale. La sustitución es la regla de la cadena integrada. Si $F$ es una primitiva de $f$ (esto es, $F'=f$), la regla de la cadena dice $\frac{d}{dx}F\bigl(g(x)\bigr)=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)$. Integrando esa igualdad respecto de $x$, el lado izquierdo se integra solo y $$\int f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx = F\bigl(g(x)\bigr) = \int f(u)\,du\Big|_{u=g(x)}.$$ La igualdad formal $du=g'(x)\,dx$ no es más que la notación cómoda de este razonamiento.

Integrales definidas. En una integral definida hay dos formas de proceder: deshacer el cambio al final y evaluar en los límites originales, o —más limpio— cambiar también los límites: $$\int_{a}^{b} f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.$$

En la calculadora de integrales de MathOperator, cada cambio de variable se muestra con la $u$ elegida, la integral en la que se transforma y el desarrollo de esa integral antes de deshacer el cambio. Pueden probarse 2*x*cos(x^2), sin(x)/(1+cos(x)) o tan(x).