Cada ecuación pide su método: las polinómicas se atacan con Ruffini —que rebaja el grado y se ramifica hacia la fórmula cuadrática o hacia otro Ruffini—, y las racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas tienen cada una su técnica.
Ante $\int R(\sin x,\cos x)\,dx$, la simetría del diferencial $\omega=f(x)\,dx$ dice cuál cambio la vuelve racional sin subir el grado: $u=\cos x$, $u=\sin x$ o $t=\tan x$; y solo si ninguna simetría vale, el universal $t=\tan\tfrac{x}{2}$.
Para $\int_{-\infty}^{\infty} R(x)\,dx$ se cierra la recta real con un semicírculo en el semiplano superior: si el arco se anula, la integral vale $2\pi i$ por la suma de los residuos de arriba. Con un factor $e^{iax}$ el arco se anula por el lema de Jordan.