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Integrales por residuos: el semicírculo y el lema de Jordan

2026-08-10

El teorema de los residuos dice que $\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i\sum \operatorname{Res}$ sobre los polos ENCERRADOS por $C$. Su gracia para el análisis real: una integral impropia $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx$ se convierte en una integral de contorno cerrándola con un arco. El contorno más simple es el semicírculo en el semiplano superior: el segmento $[-R,R]$ del eje real más un arco de radio $R$ que crece hasta el infinito.

Que el arco se anule es la clave. Para una función racional $R(x)=P(x)/Q(x)$ con $\deg Q\ge\deg P+2$, sobre el arco $|R|\sim R^{-2}$ y su longitud es $\pi R$, así que $\bigl|\int_{\text{arco}}\bigr|\lesssim \pi R\cdot R^{-2}\to0$. Cuando aparece un factor oscilante $e^{iax}$ ($a>0$) —el caso de $R(x)\cos(ax)$ y $R(x)\sin(ax)$, que se escriben como la parte real o imaginaria de $R(x)e^{iax}$— basta con $\deg Q\ge\deg P+1$: es el lema de Jordan, porque $\bigl|e^{iaz}\bigr| = e^{-a\operatorname{Im} z}\le 1$ en el semiplano superior y decae en cuanto $\operatorname{Im} z>0$.

Por qué funciona / De dónde sale. Al anularse el arco, la integral cerrada se reduce a la del eje real, y el teorema de los residuos la iguala a $2\pi i$ por la suma de los residuos de los polos de DENTRO del semicírculo, es decir los de parte imaginaria positiva. En un polo simple $z_0$ el residuo se lee cómodo como $\operatorname{Res}=N(z_0)/D'(z_0)$. Si el integrando venía de un coseno o un seno, al final se toma la parte real o imaginaria (la otra, impar, se anula).

En la calculadora de integrales y en el operador de integral por residuos de MathOperator, esta vía aparece con el contorno, la justificación de que el arco se anula y el residuo en cada polo. Pueden probarse 1/(1+x^2), x^2/(x^4+1) o cos(x)/(1+x^2).