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El contorno rectangular: periodicidad imaginaria

2026-08-10

Algunos integrandos no decaen como racionales, pero tienen una periodicidad imaginaria: al trasladar $x\mapsto x+iT$ el valor solo se multiplica por una constante, $f(x+iT)=\lambda\,f(x)$ con $\lambda\neq1$. Es el caso de $\dfrac{e^{ax}}{1+e^x}$ (periodo $2\pi i$, $\lambda=e^{2\pi i a}$) o de $\operatorname{sech} x=\dfrac{1}{\cosh x}$ (antiperiodo $i\pi$, $\lambda=-1$). El contorno natural es un rectángulo $[-R,R]\times[0,T]$.

Los lados opuestos se relacionan por el periodo. El lado de arriba (a altura $\operatorname{Im}=T$) recorre $f(x+iT)=\lambda f(x)$ en sentido contrario al de abajo, así que $\int_{\text{arriba}}=-\lambda\int_{\text{abajo}}$; los lados verticales se anulan cuando $R\to\infty$. Sumando, $(1-\lambda)\!\int_{-\infty}^{\infty}\! f = 2\pi i\!\!\sum_{0<\operatorname{Im}<T}\!\operatorname{Res}$, con los polos de la banda.

Por qué funciona / De dónde sale. Despejando la integral del factor $(1-\lambda)$ sale, por ejemplo, $\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{e^{ax}}{1+e^x}\,dx=\dfrac{\pi}{\sin(\pi a)}$ para $0<a<1$ (el único polo de la banda es $z=i\pi$), y $\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sech} x\,dx=\pi$. La periodicidad imaginaria es una propiedad que se comprueba ($f(x+iT)/f(x)$ constante), no un caso particular.

En la calculadora de integrales de MathOperator, estos integrandos se resuelven por el rectángulo, detectando el periodo y el factor $\lambda$. Pueden probarse e^(x/2)/(1+e^x) from -oo to oo, 1/cosh(x) from -oo to oo o e^(a*x)/(1+e^x) from -oo to oo.