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El ojo de cerradura: potencias no enteras y corte de rama

2026-08-10

Cuando el integrando lleva una potencia no entera, $\int_0^\infty x^{s-1}R(x)\,dx$ con $R$ racional y $s$ fraccionario, la función $z^{s-1}=e^{(s-1)\operatorname{Log} z}$ es multivaluada: al dar una vuelta alrededor del origen no vuelve a su valor. Se elige un corte de rama sobre el eje real positivo (arg $z\in(0,2\pi)$) y se rodea con un contorno en forma de ojo de cerradura: pegado por encima del corte, un círculo grande, pegado por debajo, y un círculo pequeño en el origen.

Arriba y abajo del corte no valen lo mismo. Justo encima del corte $z^{s-1}=x^{s-1}$; justo debajo, tras rodear el origen, $z^{s-1}=x^{s-1}e^{2\pi i(s-1)}=x^{s-1}e^{2\pi i s}$. Los dos bordes recorren el mismo $[0,\infty)$ en sentidos opuestos, así que su diferencia deja $$\bigl(1-e^{2\pi i s}\bigr)\!\int_0^\infty x^{s-1}R(x)\,dx = 2\pi i\sum\operatorname{Res}\bigl[z^{s-1}R(z)\bigr].$$

Por qué funciona / De dónde sale. Los círculos grande y pequeño se anulan (con la condición de convergencia $0<s<\deg\text{den}-\deg\text{num}$), y quedan solo los dos bordes del corte. Despejando sale la integral. El ejemplo de libro es $\int_0^\infty \dfrac{x^{a-1}}{1+x}\,dx=\dfrac{\pi}{\sin(\pi a)}$, para $0<a<1$. A diferencia de la función Beta, el ojo de cerradura vale para un denominador racional cualquiera, no solo $1+x^q$.

En la calculadora de integrales de MathOperator, estas integrales con potencia fraccionaria se resuelven por el ojo de cerradura, con el corte de rama y el factor $1-e^{2\pi i s}$. Pueden probarse x^(-1/2)/(1+x) from 0 to oo, sqrt(x)/((x+1)*(x+2)) from 0 to oo o 1/(sqrt(x)*(x+3)) from 0 to oo.