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El valor principal y el contorno indentado: la integral de $\sin(x)/x$

2026-08-10

La integral de Dirichlet $\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\,dx=\pi$ es el ejemplo clásico de un polo sobre el eje real. Se escribe $\dfrac{\sin x}{x}=\operatorname{Im}\dfrac{e^{ix}}{x}$, y $e^{iz}/z$ tiene un polo simple en $z=0$, justo en el camino de integración. El contorno se indenta: se rodea el polo con un semicírculo pequeño de radio $\varepsilon$ que lo esquiva.

Media vuelta, medio residuo. Ese semicírculo pequeño recorre solo media vuelta alrededor del polo, no una entera. Por eso aporta $\pi i\operatorname{Res}$ en lugar de $2\pi i\operatorname{Res}$: la mitad. La regla general, cerrando por arriba, es $$\text{PV}\!\int_{-\infty}^{\infty}\! f = 2\pi i\!\!\sum_{\operatorname{Im}>0}\!\operatorname{Res} + \pi i\!\!\sum_{\text{eje real}}\!\operatorname{Res}.$$

Por qué funciona / De dónde sale. Sobre el semicírculo pequeño $z=\varepsilon e^{i\phi}$, la parte singular $\operatorname{Res}/z$ integra a $-i\pi\operatorname{Res}$ (recorriéndolo en sentido horario para excluir el polo), y el resto se anula cuando $\varepsilon\to0$. El «valor principal» es precisamente el límite simétrico que recorta un entorno del polo. Para $e^{iz}/z$: no hay polos arriba y el de $z=0$ aporta $\pi i\cdot1=\pi i$, cuya parte imaginaria es $\pi$.

En el operador de integral por residuos de MathOperator, un polo simple real se rodea con su semicírculo y aporta su medio residuo. Pueden probarse sin(x)/x, sin(x)/(x*(x^2+1)) o sin(2*x)/x.