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Integrales trigonométricas por la circunferencia unidad

2026-08-10

Las integrales trigonométricas sobre una vuelta completa, $\int_0^{2\pi} R(\cos\theta,\sin\theta)\,d\theta$ con $R$ racional, tienen un contorno natural: la circunferencia unidad. Con el cambio $z=e^{i\theta}$, cuando $\theta$ recorre $[0,2\pi]$ el punto $z$ da exactamente una vuelta a $|z|=1$ en sentido positivo.

Las sustituciones. De $z=e^{i\theta}$ salen $\cos\theta=\dfrac{z+z^{-1}}{2}$, $\sin\theta=\dfrac{z-z^{-1}}{2i}$ y, derivando, $dz=iz\,d\theta$, es decir $d\theta=\dfrac{dz}{iz}$. Sustituyendo, la integral real se transforma en $\oint_{|z|=1} G(z)\,dz$ con $G$ una función racional de $z$.

Por qué funciona / De dónde sale. El cambio es una biyección del intervalo con la circunferencia, así que la igualdad es exacta —no una aproximación—. Aplicado el teorema de los residuos, $\oint_{|z|=1} G\,dz = 2\pi i\sum\operatorname{Res}$ sobre los polos de $G$ que caen dentro del círculo ($|z|<1$); los de fuera no cuentan. Así, una integral con senos y cosenos se resuelve contando unos pocos residuos.

En la calculadora de integrales de MathOperator, las trigonométricas sobre $[0,2\pi]$ se resuelven por este contorno, mostrando las sustituciones y los polos de dentro. Pueden probarse 1/(2+cos(x)) from 0 to 2*pi, cos(2*x)/(5-4*cos(x)) from 0 to 2*pi o 1/(1+sin(x)^2) from 0 to 2*pi.