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El contorno de sector (cuña) para integrales con $x^n+1$

2026-08-10

Para $\int_0^\infty \dfrac{p(x)}{x^n+1}\,dx$ el semicírculo no es lo natural: el denominador $x^n+1$ tiene simetría de rotación de orden $n$ (sus raíces son los vértices de un polígono regular, las raíces $2n$-ésimas de la unidad de índice impar). El contorno que respeta esa simetría es una cuña —un sector— de ángulo $2\pi/n$: el segmento $[0,R]$, un arco, y el rayo de vuelta a ángulo $2\pi/n$.

El truco del rayo de vuelta. Sobre ese rayo $z=\omega x$ con $\omega=e^{2\pi i/n}$, como $\omega^n=1$ el denominador NO cambia ($(\omega x)^n+1=x^n+1$), mientras que un monomio del numerador se multiplica por una constante, $x^m\mapsto\omega^m x^m$. Así el rayo de vuelta es un múltiplo de la integral de partida, y de la igualdad del contorno se DESPEJA la integral: $(1-\omega^{m+1})\int_0^\infty \tfrac{x^m}{x^n+1}\,dx = 2\pi i\operatorname{Res}_{z_0}$.

Por qué funciona / De dónde sale. Dentro de la cuña hay UN solo polo, $z_0=e^{i\pi/n}$. El arco se anula si $\deg p\le n-2$. Despejando sale la forma cerrada $\int_0^\infty \tfrac{x^m}{x^n+1}\,dx=\dfrac{\pi/n}{\sin\frac{(m+1)\pi}{n}}$, y para un numerador polinómico general se aplica linealidad, término a término. Nada depende del ejemplo: el contorno lo da la simetría del denominador.

En la calculadora de integrales de MathOperator, estas integrales sobre $[0,\infty)$ se resuelven por el sector, con la cuña, el rayo de vuelta y el polo interior. Pueden probarse 1/(1+x^3) from 0 to oo, x/(1+x^4) from 0 to oo o (3*x^2+1)/(1+x^6) from 0 to oo.