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La derivada del producto y la integración por partes

2026-08-07

La derivada de un producto de dos funciones es una de las reglas básicas del cálculo: $$\bigl(u\,v\bigr)' = u'\,v + u\,v'.$$ Se lee «la derivada del primero por el segundo más el primero por la derivada del segundo», y se demuestra directamente desde la definición de derivada como límite del cociente incremental. De ella salen, encadenándola con la regla de la cadena, casi todas las derivadas de expresiones compuestas.

De la derivada del producto a la integración por partes. Lo interesante es que esa misma fórmula, leída «al revés», es la integración por partes. Basta integrar los dos lados de $(uv)' = u'v + uv'$ respecto de $x$. El lado izquierdo se integra solo —la integral de una derivada es la propia función—, así que $$u\,v = \int u'\,v\,dx + \int u\,v'\,dx.$$ Despejando una de las dos integrales queda la fórmula clásica: $$\int u\,v'\,dx = u\,v - \int u'\,v\,dx,\qquad\text{o bien}\qquad \int u\,dv = u\,v - \int v\,du,$$ escribiendo $dv = v'\,dx$ y $du = u'\,dx$. No es una regla nueva: es la derivada del producto integrada.

Para qué sirve. La integración por partes convierte una integral en otra —$\int u\,dv$ en $\int v\,du$— con la esperanza de que la segunda sea más sencilla. Funciona con productos de funciones de distinta naturaleza: un polinomio por una exponencial, un polinomio por un seno/coseno, o un logaritmo o arcotangente a solas (tomando $dv=dx$). La elección de $u$ suele seguir la regla nemotécnica ALPES (logarítmica → arco → polinómica → exponencial → trigonométrica): se toma como $u$ la que aparece antes, porque al derivarla se simplifica. Así, en $\int x\sin(3x)\,dx$ se elige $u=x$ y $dv=\sin(3x)\,dx$; en $\int \ln x\,dx$, $u=\ln x$ y $dv=dx$, que da $x\ln x - x$.

El caso cíclico. A veces, tras integrar por partes (a menudo dos veces), reaparece la integral de partida. En lugar de un bucle sin fin, eso permite despejarla como una ecuación: en $\int e^{x}\cos x\,dx$, dos integraciones por partes devuelven la misma integral con un signo, y al agruparla a un lado se obtiene el resultado. Es el mismo razonamiento que cierra las integrales de $e^{ax}\sin(bx)$ y $e^{ax}\cos(bx)$.

En la calculadora de integrales de MathOperator, la integración por partes aparece cuando el integrando lo pide, con la elección de $u$ y $dv$, la fórmula aplicada y la integral restante desarrollada —incluido el despeje del caso cíclico—. Pueden probarse x*sin(3x), log(x), x*exp(x) o exp(x)*cos(x).