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La forma indeterminada ∞−∞: conjugado, logaritmos y común denominador

2026-07-25

La forma $\infty-\infty$ es una de las indeterminaciones más habituales al calcular límites cuando la variable crece sin tope. Aparece siempre que se restan dos cantidades que tienden ambas a infinito: por separado no dicen nada —$\infty-\infty$ no es $0$—, porque el resultado depende de cómo de rápido crece cada una. La diferencia puede tender a un número finito, a infinito o a no existir. La estrategia común es reescribir la expresión para deshacer la resta y llegar a una forma en la que el límite ya se pueda leer; qué reescritura conviene depende de la forma de los términos. A continuación, las tres más frecuentes.

El conjugado y su forma generalizada. Es la técnica para las diferencias de raíces. El conjugado de $\sqrt{A}-\sqrt{B}$ es $\sqrt{A}+\sqrt{B}$, y su producto elimina las raíces, $(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B}) = A-B$; multiplicando y dividiendo por él, la resta se convierte en un cociente: $$\sqrt{A}-\sqrt{B} = \frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}.$$ Así, $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$ queda $\tfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\to 0$, y $\sqrt{n^2+3n-10}-n$ da $\tfrac{3n-10}{\sqrt{n^2+3n-10}+n}\to\tfrac{3}{2}$. Para raíces de índice mayor ($\sqrt[3]{P}-Q$, o $P^{1/k}-Q$) se usa la factorización de una diferencia de potencias, $$a^{k}-b^{k} = (a-b)\,(a^{k-1}+a^{k-2}b+\cdots+b^{k-1}),$$ con $a=P^{1/k}$ y $b=Q$: el numerador pasa a ser $P-Q^{k}$, sin raíces. En $\sqrt[3]{x^3+30x^2-10}-x$ el numerador queda $30x^2-10$ y el límite es $10$. Y si los índices son mixtos ($\sqrt[3]{P}-\sqrt{Q}$), se toma $L$ como el mínimo común múltiplo de los índices y se aplica la identidad con exponente $L$: para $\sqrt[3]{n^3+9n^2-10}-\sqrt{n^2+5n-3}$, con $L=6$, el numerador $P^{2}-Q^{3}$ es un polinomio y el límite es $\tfrac{1}{2}$.

Diferencia de logaritmos. Cuando la resta es entre dos logaritmos, la propiedad $\ln A - \ln B = \ln\frac{A}{B}$ la combina en uno solo, y el límite se reduce al del argumento: si $\tfrac{A}{B}\to L>0$, entonces $\ln\tfrac{A}{B}\to\ln L$. Por ejemplo, $\ln(x+1)-\ln(x) = \ln\tfrac{x+1}{x}\to\ln 1 = 0$, y $\ln(3x)-\ln(x)=\ln 3$ para todo $x$. La resta indeterminada se ha convertido en el logaritmo de un cociente perfectamente calculable.

Común denominador. Si los términos son fracciones (o un polinomio menos una fracción), reunirlos sobre un mismo denominador transforma la resta en un cociente de polinomios, cuyo límite en el infinito sigue una regla sencilla: se comparan los grados del numerador y del denominador. Si el denominador tiene grado mayor, el límite es $0$; si tienen el mismo grado, es el cociente de los coeficientes principales. Así, $x-\dfrac{x^2}{x+1}=\dfrac{x}{x+1}\to 1$ (mismo grado), y $\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x(x-1)}\to 0$ (el denominador gana en grado).

Las tres técnicas tienen algo en común: son álgebra, no usan derivadas. Por eso valen exactamente igual para una función de $x$ que para una sucesión $a_n$, sin necesidad de la extensión continua que sí exigen L'Hôpital o el desarrollo de Taylor —la misma ventaja que tienen las equivalencias asintóticas—. En un límite concreto, reconocer la forma de los términos (raíces, logaritmos, fracciones) es lo que indica cuál aplicar.

La calculadora de límites de MathOperator detecta la forma $\infty-\infty$ y muestra la reescritura que corresponde —el conjugado generalizado, la combinación de logaritmos o el común denominador— como una de sus vías, con el desarrollo completo. Pueden probarse sqrt(x+1)-sqrt(x) at oo, (x^3+30x^2-10)^(1/3)-x at oo, el caso de índices mixtos (n^3+9n^2-10)^(1/3)-sqrt(n^2+5n-3) at oo, ln(3x)-ln(x) at oo o x - x^2/(x+1) at oo.