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Límites de sucesiones, equivalencias asintóticas y la fórmula de Stirling

2026-07-21

El límite de una sucesión $a_n$ cuando $n\to\infty$ es, formalmente, el mismo concepto que el de una función: a qué valor se acerca cuando la variable crece sin tope. La diferencia es que $n$ es discreta —toma valores enteros, $1,2,3,\dots$— mientras que $x$ recorre los reales. Esa diferencia parece de detalle, pero tiene una consecuencia que se pasa por alto con frecuencia: no toda herramienta de los límites de funciones es válida sin más para una sucesión.

El problema con L'Hôpital. La regla de L'Hôpital sustituye el cociente por el de las derivadas de numerador y denominador. Pero una sucesión no se puede derivar "respecto a $n$" —$n$ no varía de forma continua, no hay un $\Delta n\to 0$ con sentido—. Lo mismo le pasa al desarrollo en serie de Taylor, que también se construye con derivadas. El arreglo estándar es la extensión continua: si $a_n = f(n)$ para una función $f(x)$ razonable (la misma fórmula, con $x$ real) y $\lim_{x\to\infty} f(x) = L$ existe, entonces $\lim_{n\to\infty} a_n = L$ también —la sucesión es, al fin y al cabo, una restricción de $f$ a los naturales—. Es un paso que casi nunca se explicita, y que MathOperator ahora muestra siempre que hace falta antes de aplicar L'Hôpital o Taylor sobre una sucesión.

Equivalencias asintóticas (infinitésimos). Hay una vía que evita el problema por completo: si $f(u) \sim g(u)$ cuando $u\to p$ (su cociente tiende a 1), $f$ se puede sustituir por $g$ dentro de un producto o cociente sin cambiar el límite —nunca dentro de una suma, el error más común—. Como no usa derivadas, vale exactamente igual en sucesiones que en funciones. Las más conocidas, cuando $u\to 0$: $$\sin u \sim u, \quad \tan u \sim u, \quad e^{u}-1 \sim u, \quad \ln(1+u) \sim u, \quad 1-\cos u \sim \tfrac{u^2}{2}.$$ Con ellas, $\lim_{n\to\infty} n\sin\!\left(\tfrac1n\right)$ se resuelve en una línea: $\sin\!\left(\tfrac1n\right)\sim\tfrac1n$ (porque $\tfrac1n\to0$), así que el límite es $\lim n\cdot\tfrac1n = 1$ —sin derivar nada—. La tabla completa de equivalencias recoge estas y algunas más (potencias generalizadas, el término dominante de un polinomio…).

La fórmula de Stirling. Para sucesiones con factoriales hay una equivalencia propia: $$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \qquad (n\to\infty).$$ Permite resolver de un plumazo límites que, escritos como cociente de factoriales y potencias, no tienen una forma de cociente sencilla en la que aplicar L'Hôpital: $\lim_{n\to\infty} \dfrac{n!}{\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n} = 1$ por construcción, y sirve como pieza para límites más elaborados con $n!$, como $\dfrac{n!}{n^n}\to 0$.

La calculadora de límites de MathOperator distingue función de sucesión por la variable —x para funciones, n para sucesiones— y ofrece equivalencias, factorización y L'Hôpital/Taylor (con la extensión continua cuando hace falta) como vías alternativas, cada una con su desarrollo completo. Y ya que se ha añadido soporte para el factorial: también entiende la notación x!, además de factorial(x) y gamma(x+1). Pueden probarse n*sin(1/n) at oo, (1+1/n)^n at oo (el límite que define $e$, con la extensión continua explícita) o n!/n^n at oo (con Stirling).