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Potencia de una matriz: cómo calcular Aⁿ por diagonalización

2026-07-14

Elevar una matriz al cuadrado o al cubo se resuelve multiplicando. Calcular $A^n$ con $n$ simbólico, en cambio, exige otra estrategia: no se puede multiplicar «$n$ veces» sin conocer $n$. Y esa es precisamente la potencia interesante, porque describe la evolución de un sistema discreto: cadenas de Markov, recurrencias lineales o el número de caminos de longitud $n$ en un grafo.

El método estándar es la diagonalización. Si $A = P\,D\,P^{-1}$, al elevar se obtiene $$A^n = (PDP^{-1})(PDP^{-1})\cdots(PDP^{-1}) = P\,D^n\,P^{-1},$$ porque cada producto $P^{-1}P$ intermedio se cancela. El problema queda reducido a elevar una matriz diagonal, que es inmediato: $D^n$ es la diagonal formada por cada autovalor elevado, $\lambda_i^{\,n}$. El coste real del método está en diagonalizar (polinomio característico, autovalores y autovectores); la potencia en sí es una consecuencia.

El ejemplo clásico es la matriz de Fibonacci $\bigl[\begin{smallmatrix}1&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr]$. Sus autovalores son $\varphi = \frac{1+\sqrt 5}{2}$ (el número áureo) y su conjugado $\frac{1-\sqrt 5}{2}$, y al deshacer el cambio de base las entradas de $A^n$ resultan ser los propios números de Fibonacci expresados por la fórmula de Binet. La sucesión aparece, sin definirla, en un producto de tres matrices.

No toda matriz es diagonalizable: si le faltan autovectores independientes (como a $\bigl[\begin{smallmatrix}2&1\\0&2\end{smallmatrix}\bigr]$), no existe fórmula cerrada por esta vía y solo cabe el producto directo con exponente numérico. La calculadora de potencias de MathOperator sigue este método completo —heredando el desarrollo de la diagonalización— y admite matrices hasta $5\times 5$ con parámetros: pueden probarse [[1,1],[1,0]]^n, [[2,1],[1,2]]^n o [[a,0],[0,b]]^n.