Cómo calcular una integral paso a paso: métodos y ejemplos

2026-07-16

Calcular una integral consiste en encontrar una primitiva: una función $F(x)$ cuya derivada sea el integrando, $F'(x) = f(x)$. A diferencia de la derivación —que es mecánica: basta aplicar las reglas—, la integración exige reconocer la estructura del integrando para elegir el método adecuado. Esta guía repasa los cinco métodos fundamentales y cómo decidir entre ellos.

1. Integrales inmediatas. El primer paso es siempre comprobar si el integrando figura en la tabla de derivadas e integrales: potencias ($\int x^n\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$), exponenciales, trigonométricas e hiperbólicas. La linealidad permite además separar sumas y sacar constantes: $\int (3x^2 + \sin x)\,dx = x^3 - \cos x + C$.

2. Cambio de variable (sustitución). Se aplica cuando el integrando contiene una función y su derivada como factor: en $\int 2x\cos(x^2)\,dx$, la derivada de $x^2$ es $2x$, que está presente; con $u = x^2$ queda $\int \cos u\,du = \sin(x^2) + C$. La señal para reconocerlo: una composición $f(g(x))$ acompañada de $g'(x)$.

3. Integración por partes. Para productos de funciones de distinta naturaleza (polinomio por exponencial, polinomio por trigonométrica, logaritmos): $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. La elección clásica de $u$ sigue el orden logarítmica → arco → polinómica → exponencial → trigonométrica (regla ALPES): en $\int x\sin(3x)\,dx$ se toma $u = x$ y $dv = \sin(3x)\,dx$. Si tras integrar por partes la integral original reaparece, se despeja como una ecuación (las llamadas integrales cíclicas, como $\int e^x\cos x\,dx$).

4. Fracciones simples. Toda función racional $\tfrac{P(x)}{Q(x)}$ se descompone en fracciones cuya integral es un logaritmo o un arcotangente. Por ejemplo, $\int \tfrac{dx}{x^2-1} = \tfrac12\ln\left|\tfrac{x-1}{x+1}\right| + C$ tras separar en $\tfrac{1/2}{x-1} - \tfrac{1/2}{x+1}$. 5. Sustitución trigonométrica. Los radicales $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$ y $\sqrt{x^2-a^2}$ se eliminan con los cambios $x = a\sin\theta$, $a\tan\theta$ y $a\cosh t$ respectivamente: así $\int\sqrt{1-x^2}\,dx$ se convierte en una integral de $\cos^2\theta$, que se resuelve con la identidad del ángulo doble.

Para las integrales definidas se aplica después la regla de Barrow: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Dos comprobaciones evitan la mayoría de los errores: derivar la primitiva obtenida (debe devolver el integrando) y no olvidar la constante $C$ en las indefinidas. La calculadora de integrales de MathOperator aplica exactamente este árbol de decisión y muestra cada paso: pueden probarse x*sin(3x) (por partes), 2*x*cos(x^2) (sustitución), 1/(x^2-1) (fracciones simples) o sqrt(1-x^2) (sustitución trigonométrica).