Límites indeterminados: L'Hôpital paso a paso y el logaritmo para 1^∞

2026-07-10

SymPy calcula el valor de un límite con el algoritmo de Gruntz, pero no enseña el razonamiento. Nosotros añadimos el clásico de toda la vida: sustitución directa, y si sale una indeterminación ($\tfrac{0}{0}$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$), la Regla de L'Hôpital —derivar numerador y denominador— o el desarrollo en serie de Taylor. Y lo hacemos bien: L'Hôpital se reaplica mientras la indeterminación persista, colgando el árbol de cada derivada; deriva numerador y denominador por igual (antes, si el de abajo era trivial como $x^2\to 2x$, parecía que se lo “comía”); y para en cuanto el cociente converge, aunque arriba y abajo sean ambos $\infty$.

Lo nuevo son las formas de potencia $1^{\infty}$, $0^{0}$ y $\infty^{0}$, que antes salían sin desarrollo. La estrella es $\lim_{x\to\infty}\left(1+\tfrac1x\right)^{x}$, esa cara conocida del número $e$. El truco: si $L = \lim g^{h}$, tomamos logaritmos, $$\ln L = \lim\, h\,\ln g,$$ que es una forma $0\cdot\infty$. La reescribimos como un cociente y ya es $\tfrac{0}{0}$, lista para L'Hôpital.

Para un límite en el infinito, el cambio $t = 1/x$ lo deja limpísimo: al pasar a $t\to 0^+$, $$\ln L = \lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1+t)}{t} \;\overset{\text{L'H}}{=}\; \lim_{t\to 0^+}\frac{1/(1+t)}{1} = 1,$$ y deshacemos el logaritmo: $L = e^{1} = e$. Una sola aplicación de L'Hôpital, sin el amasijo de derivadas que sale sin el cambio. El mismo esquema resuelve $\lim_{x\to 0^+} x^{x} = 1$ (forma $0^{0}$). Y como todo aquí, se comprueba: verificamos que $e^{\ln L}$ coincide con el valor del límite antes de mostrarlo. Pruébalo con (1+1/x)^x at oo, x^x at 0+, sin(x)/x at 0 o (x*sin(x)-x+log(x+1))/x^2 at 0.