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Regla de L'Hôpital paso a paso y límites de la forma 1^∞, 0^0 y ∞^0

2026-07-10

El procedimiento general para resolver un límite empieza por la sustitución directa. Si el resultado es una indeterminación del tipo $\tfrac{0}{0}$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$, hay dos herramientas principales: la regla de L'Hôpital —sustituir el cociente por el de las derivadas de numerador y denominador— y el desarrollo en serie de Taylor. L'Hôpital puede aplicarse varias veces consecutivas mientras la indeterminación persista, y debe detenerse en cuanto el cociente converge.

Por qué funciona (teorema del valor medio de Cauchy). La regla no es un truco: se demuestra con el teorema del valor medio de Cauchy. Si $f$ y $g$ son derivables y $f(a)=g(a)=0$, para cada $x$ cercano existe un punto $\xi$ entre $a$ y $x$ tal que $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.$$ Cuando $x\to a$, el punto intermedio $\xi$ queda atrapado entre $a$ y $x$, así que también tiende a $a$; por tanto, si $\lim_{x\to a} f'/g'$ existe, el cociente $f/g$ tiende al mismo valor. Ese es exactamente el enunciado de L'Hôpital, y el mismo argumento —con la versión del teorema para límites en el infinito— cubre la forma $\tfrac{\infty}{\infty}$.

Las formas de potencia $1^{\infty}$, $0^{0}$ y $\infty^{0}$ requieren un paso previo: tomar logaritmos. Si $L = \lim g^{h}$, entonces $$\ln L = \lim\, h\,\ln g,$$ que es una forma $0\cdot\infty$; reescrita como cociente se convierte en $\tfrac{0}{0}$ y queda lista para L'Hôpital. El ejemplo canónico es el límite que define el número $e$: $\lim_{x\to\infty}\left(1+\tfrac1x\right)^{x}$.

En los límites en el infinito, el cambio de variable $t = 1/x$ simplifica el cálculo: el límite pasa a $t\to 0^+$ y $$\ln L = \lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1+t)}{t} \;\overset{\text{L'H}}{=}\; \lim_{t\to 0^+}\frac{1/(1+t)}{1} = 1,$$ de donde $L = e$. Una sola aplicación de la regla, frente al cálculo mucho más engorroso sin el cambio. El mismo esquema resuelve $\lim_{x\to 0^+} x^{x} = 1$ (forma $0^0$).

La calculadora de límites de MathOperator sigue este procedimiento completo: sustitución directa, L'Hôpital reaplicada con el árbol de cada derivada, series de Taylor y el método del logaritmo con el cambio $t=1/x$, verificando el resultado antes de mostrarlo. Pueden probarse (1+1/x)^x at oo, x^x at 0+, sin(x)/x at 0 o (x*sin(x)-x+log(x+1))/x^2 at 0.