Convolución: la operación de deslizar, solapar y sumar

2026-07-13

La convolución tiene fama de esotérica y no lo es: es deslizar, solapar y sumar. Su definición, $$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau,$$ esconde una idea muy visual. Fíjate en $g(t-\tau)$: como función de $\tau$, es $g$ reflejada (el signo menos) y desplazada una cantidad $t$. Para cada $t$ multiplicas las dos curvas y mides el área del solape. Esa área, punto a punto, ES la función convolución.

Por eso la gráfica que hemos montado es la pieza central: a la izquierda ves $f(\tau)$ quieta y $g(t-\tau)$ deslizándose, con el solape sombreado; a la derecha, $(f*g)(t)$ y un punto que sube y baja marcando exactamente esa área. Arrastra y compruébalo. Y como la convolución conmuta, hay un botón para reflejar la otra: el solape cambia de forma, pero su área —el resultado— no.

La gracia técnica está en los límites. La integral va de $-\infty$ a $\infty$, pero solo cuenta donde ambas son no nulas. Si las dos señales son causales (llevan el escalón $u(t)$, es decir valen 0 antes de 0), entonces $f(\tau)=0$ para $\tau<0$ y $g(t-\tau)=0$ para $\tau>t$: el solape vive solo en $0 \le \tau \le t$. La impropia se convierte en la definida $\int_0^t$ — y esa sí la sabemos desarrollar con toda la maquinaria de integrales (por partes, sustitución, Barrow). Aquí está el aporte: SymPy, si le pides la convolución tal cual, te devuelve la integral sin evaluar; deduciendo el solape, la cerramos y además la explicamos paso a paso.

Pruébalo con exp(-t)*u(t) ; u(t) (te sale $1-e^{-t}$: la respuesta de un RC al escalón), con u(t) ; u(t) (la rampa $t$: convolucionar dos escalones integra), o con t*u(t) ; exp(-t)*u(t). Y recuerda por qué importa: la salida de todo sistema lineal invariante es la convolución de la entrada con su respuesta al impulso. Filtros, ecos, desenfoques y las capas de una red neuronal convolucional son, todos, esta misma integral.