Convolución discreta: por qué convolucionar es multiplicar polinomios

2026-07-13

La convolución discreta es la misma idea con secuencias: $$(f * g)[n] = \sum_{k} f[k]\, g[n-k].$$ Otra vez, $g[n-k]$ es $g$ reflejada y desplazada $n$ posiciones. Deslizas, miras qué términos se solapan, multiplicas y sumas. La gráfica lo enseña con tallos: mueves $n$ y ves qué barras coinciden y cuánto suman.

Pero hay una forma preciosa de verla. Asocia a cada secuencia su polinomio generador: $F(x) = \sum_i f[i]\,x^i$ y $G(x) = \sum_j g[j]\,x^j$. Al multiplicarlos, el coeficiente de $x^n$ recoge todos los productos $f[i]g[j]$ con $i+j=n$… que es exactamente la suma de la convolución. Es decir: $$F(x)\,G(x) = \sum_n (f*g)[n]\,x^n.$$ Convolucionar coeficientes ES multiplicar polinomios. Prueba [1,2,3] ; [1,1]: la convolución da $[1,3,5,3]$, y $(3x^2+2x+1)(x+1) = 3x^3+5x^2+3x+1$. Los mismos números. La calculadora te enseña las dos vías en paralelo.

Esa identidad no es una curiosidad: es la razón de que multiplicar dos números grandes sea una convolución de sus dígitos (con acarreo), y de que se pueda hacer rapidísimo con la FFT. También explica la probabilidad discreta: la distribución de la suma de dos dados es la convolución de sus distribuciones — y su función generadora, el producto de las dos.

Si prefieres lo simbólico, admite secuencias causales: 2^(-n)*u(n) ; u(n) te da $(n+1)2^{-n}$, resolviendo el sumatorio del solape $\sum_{k=0}^{n}$ con la misma maquinaria de series que ya teníamos. Deslizar, solapar y sumar: en el continuo se integra, en el discreto se suma. Es la misma operación.