Estrenamos Topología: clausura, interior y frontera en espacios finitos

2026-07-11

La topología es el lenguaje de la continuidad sin distancias: un conjunto $X$ y una familia $\tau$ de "abiertos" que contiene a $\varnothing$ y a $X$ y es cerrada por uniones e intersecciones. Con tan poco se define todo lo demás. Estrenamos una sección dedicada, y empezamos por lo más concreto y computable: los espacios finitos, donde cada operación es exacta.

Le das una topología y un subconjunto —por ejemplo {{},{1},{1,2},{1,2,3}} ; {2}— y calcula, paso a paso: el interior $A^{\circ}$ (el mayor abierto dentro de $A$), la clausura $\overline{A}$ (el menor cerrado que lo contiene), la frontera $\partial A = \overline{A}\setminus A^{\circ}$, el exterior y el conjunto derivado $A'$ (los puntos de acumulación). Todo por su definición conjuntista, listando los abiertos y cerrados que intervienen.

Además clasifica: ¿es $A$ abierto, cerrado, clopen o denso? ¿El espacio cumple los axiomas de separación $T_0$, $T_1$ o $T_2$ (Hausdorff)? ¿Es conexo? Y si lo que escribes no es una topología (le falta algún abierto), usa la que genera cerrando por uniones e intersecciones. Pruébalo con la topología discreta {{},{a},{b},{a,b}} ; {a} —donde {a} es clopen y el espacio es de Hausdorff— o con la cadena de Sierpiński, que es $T_0$ y conexa pero no $T_1$.