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La técnica de Feynman: derivar bajo el signo integral

2026-06-26

Algunas integrales definidas carecen de primitiva elemental y, sin embargo, tienen un valor exacto alcanzable con una técnica clásica: derivar respecto de un parámetro (la regla de Leibniz, popularizada como «técnica de Feynman»).

Por qué se puede (regla de Leibniz). El método descansa en intercambiar dos operaciones —la derivada respecto del parámetro y la integral respecto de la variable—: $$\frac{d}{dt}\int_a^b f(x,t)\,dx = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial t}(x,t)\,dx.$$ El intercambio no es gratuito: es legítimo cuando $f$ y $\partial f/\partial t$ son continuas y, en un intervalo infinito, la integral de $\partial f/\partial t$ converge uniformemente en $t$ —basta una cota integrable independiente de $t$, por el teorema de convergencia dominada—. En las integrales de esta técnica, donde una exponencial que decae multiplica a senos, cosenos o gaussianas, esa cota existe, y por eso derivar bajo el signo es válido y no una casualidad afortunada.

El ejemplo canónico es $$I(t)=\int_0^\infty \frac{e^{-tx}\sin x}{x}\,dx.$$ Considerada como función del parámetro $t$, su derivada bajo el signo integral cancela la $x$ del denominador y deja una integral elemental: $$I'(t) = -\frac{1}{t^2+1}.$$ Integrando de vuelta y fijando la constante con la condición de contorno $I(t)\to 0$ cuando $t\to\infty$, se obtiene $$I(t) = \frac{\pi}{2} - \arctan(t).$$

Como caso particular, en $t=0$ aparece la integral de Dirichlet: $$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}.$$ La técnica admite variantes según cómo se cierre el problema: integrar la derivada directamente, detectar que la integral se reproduce a sí misma (una ecuación diferencial separable, como en la gaussiana), o derivar una segunda vez y fijar las dos constantes con las condiciones $I(0)$ e $I'(0)$.

La calculadora de integrales de MathOperator explora estas vías automáticamente y muestra cada una con su desarrollo, verificando el resultado numéricamente. Pueden probarse e^(-t*x)*sin(x)/x from 0 to oo o la gaussiana paramétrica cos(t*x)*e^(-x^2) from -oo to oo.