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Integrales de funciones racionales por fracciones simples

2026-08-10

Una función racional es un cociente de polinomios $P(x)/Q(x)$. Cuando es propia (grado del numerador menor que el del denominador), se descompone en fracciones simples: una suma de fracciones elementales cuyas integrales son inmediatas. Es el método sistemático para integrar cualquier racional.

Los tipos de término. El denominador $Q(x)$ se factoriza sobre los reales en factores lineales y cuadráticos irreducibles, y cada uno aporta su parte: un factor lineal simple $(x-a)$ da $\dfrac{A}{x-a}$; uno repetido $(x-a)^{k}$ da $\dfrac{A_1}{x-a}+\cdots+\dfrac{A_k}{(x-a)^{k}}$; y un cuadrático irreducible $(x^{2}+px+q)$ da $\dfrac{Bx+C}{x^{2}+px+q}$. Los coeficientes se hallan igualando numeradores (coeficientes indeterminados).

Por qué funciona / De dónde sale. El teorema de factorización dice que todo polinomio real se escribe como producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles; y un resultado de álgebra (la descomposición en el anillo $\mathbb{R}[x]$) garantiza que toda racional propia admite una única descomposición de la forma anterior. Una vez descompuesta, cada pieza se integra por separado: $\int\frac{A}{x-a}\,dx=A\ln\lvert x-a\rvert$, y $\int\frac{Bx+C}{x^{2}+px+q}\,dx$ se parte en una derivada logarítmica más un arcotangente (completando el cuadrado).

Si es impropia. Cuando el grado del numerador iguala o supera al del denominador, primero se divide ($P/Q = C(x) + R(x)/Q(x)$, con $\deg R<\deg Q$): la parte polinómica $C(x)$ se integra directa y el resto $R/Q$ ya es propio.

En la calculadora de integrales de MathOperator, las racionales se resuelven mostrando la descomposición en fracciones simples y la integración de cada término. Pueden probarse 1/(x^2-1), x/((x+1)*(x^2+1)) o (x^2+1)/(x-1).