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Ecuaciones lineales de primer orden: factor integrante y solución homogénea más particular

2026-10-16

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es la que puede escribirse en la forma $$y'+P(x)\,y=Q(x),$$ con $P$ y $Q$ funciones de $x$. Es lineal porque $y$ y su derivada aparecen a la primera potencia y sin multiplicarse entre sí; si $Q=0$, se dice homogénea. Este artículo presenta el método del factor integrante, que da la solución en una fórmula, y la lectura de esa solución como suma de la solución general de la homogénea y una particular.

El factor integrante. La idea es multiplicar la ecuación por una función $\mu(x)$ que convierta el lado izquierdo en la derivada de un producto. Como $(\mu y)'=\mu y'+\mu' y$, basta que $\mu'=P\,\mu$, lo que se cumple con $$\mu(x)=e^{\int P\,dx}.$$ Multiplicada por $\mu$, la ecuación queda $(\mu y)'=\mu\,Q$; al integrar, $\mu y=\int\mu\,Q\,dx+C$, y se despeja $$y=\frac{1}{\mu(x)}\left(\int\mu(x)\,Q(x)\,dx+C\right).$$ En la primitiva de $P$ no hace falta constante: cambiarla multiplicaría $\mu$ por un número, que se cancela al despejar.

Un ejemplo. En $y'+y=x$ se tiene $P=1$ y $\mu=e^{x}$. La ecuación queda $\left(e^{x}y\right)'=x\,e^{x}$, y la integral, por partes, es $\int x\,e^{x}\,dx=(x-1)\,e^{x}$. Entonces $e^{x}y=(x-1)\,e^{x}+C$ y $$y=C\,e^{-x}+x-1.$$

Homogénea más particular. La solución obtenida tiene dos partes: $C\,e^{-x}$ es la solución general de la homogénea $y'+y=0$, y $x-1$ es una solución particular de la ecuación completa. No es una coincidencia, sino una consecuencia de la linealidad: la diferencia de dos soluciones de la ecuación completa resuelve la homogénea, así que todas las soluciones son $y=y_h+y_p$, con $y_h$ la general de la homogénea e $y_p$ una particular cualquiera. Por eso $y_p$ puede buscarse por otras vías: por coeficientes indeterminados, proponiendo $y_p=a\,x+b$, que da $a+a\,x+b=x$, luego $a=1$ y $b=-1$; o por variación de parámetros, que en primer orden coincide con el factor integrante.

El comportamiento de las soluciones. En el ejemplo, $e^{-x}\to0$ cuando $x\to\infty$, de modo que todas las soluciones se acercan a la recta $y=x-1$, cualquiera que sea $C$. La parte homogénea describe un régimen transitorio que se extingue y la particular, el régimen permanente. Es la situación de un circuito RC con una tensión variable, de un depósito de mezcla con una concentración de entrada que cambia o de un cuerpo que se enfría en un ambiente de temperatura variable.

El problema de valor inicial. Una condición fija $C$: con $y(0)=0$, se obtiene $0=C-1$, luego $C=1$ e $y=e^{-x}+x-1$. Si $P$ y $Q$ son continuas en un intervalo, la solución con una condición inicial en él existe en todo el intervalo y es única.

Con la calculadora. La calculadora de ecuaciones diferenciales escribe la ecuación en forma estándar, calcula el factor integrante, desarrolla la integral de $\mu\,Q$ y despeja $y$; ofrece además la vía de la transformada de Laplace. Puede probarse con y' + y = x o y' + y = exp(x).