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Coeficientes indeterminados: la solución particular de una ecuación lineal

2026-07-28

La solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea $L[y] = g(x)$ se descompone en dos partes: $$y = y_h + y_p,$$ la solución homogénea $y_h$ (la de $L[y]=0$) más una solución particular $y_p$ (cualquier función que cumpla $L[y_p]=g$). La homogénea se obtiene de la ecuación característica; para la particular, cuando el término $g(x)$ es de tipo sencillo —un polinomio, una exponencial, un seno o un coseno, o productos de ellos— hay un método directo: los coeficientes indeterminados.

Proponer una forma. La idea es que al derivar $g(x)$ reaparecen funciones del mismo tipo: las derivadas de un polinomio son polinomios, las de $e^{ax}$ son múltiplos de $e^{ax}$, y las de $\sin$ y $\cos$ se intercambian entre sí. Por eso se propone una $y_p$ con la misma forma que $g$ y sus derivadas, dejando los coeficientes sin fijar. Por ejemplo, para $g = x^2$ se prueba $y_p = A x^2 + B x + C$; para $g = \sin(2x)$, $y_p = A\cos(2x) + B\sin(2x)$.

Sustituir e igualar. Se mete la forma de prueba en $L[y]=g$ y se desarrolla. El resultado debe coincidir con $g(x)$ para todo $x$, así que se igualan los coeficientes de cada función independiente ($x^2$, $x$, $1$, $e^{ax}$, $\cos$, $\sin$…) a ambos lados. Eso produce un sistema lineal en los coeficientes por determinar, que se resuelve como cualquier sistema. Sustituyendo la solución del sistema en la forma de prueba se obtiene $y_p$.

El caso de resonancia. Hay una salvedad importante: si la forma de prueba coincide con una solución de la homogénea, al sustituirla se anula y no puede igualar a $g$. La regla es multiplicar esa parte de la prueba por $x$ (o por $x^2$ si la raíz es doble) hasta que deje de ser solución homogénea. Por ejemplo, en $y'' - 3y' + 2y = e^x$ la raíz $r=1$ hace que $e^x$ sea homogénea, así que la prueba pasa de $A e^x$ a $A\,x\,e^x$.

En la calculadora, escribir una ecuación como $y'' - 3y' + 2y = e^x$ o $y'' + y = \sin(2x)$ en el operador de ecuaciones diferenciales muestra la homogénea, la forma de prueba, la sustitución y el sistema de coeficientes resuelto paso a paso.