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Variación de parámetros: una solución particular para cualquier término

2026-07-29

El método de coeficientes indeterminados encuentra la solución particular de una ecuación lineal proponiendo una forma parecida al término independiente $g(x)$. Funciona muy bien cuando $g$ es un polinomio, una exponencial o un seno/coseno, pero falla si $g$ es, por ejemplo, $\tan x$ o $\sec x$: sus derivadas generan funciones nuevas sin cerrarse en una base finita. Para esos casos —y para cualquier otro— está la variación de parámetros, un método más general que no necesita adivinar ninguna forma.

La idea. Se parte de la solución homogénea $y_h = C_1 y_1 + C_2 y_2$ y se busca la particular con la misma base, pero dejando que las constantes varíen: $$y_p = u_1(x)\,y_1 + u_2(x)\,y_2.$$ Como hay dos funciones por determinar, se puede imponer una condición extra por comodidad: $u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0$. Con ella, al sustituir en la ecuación, queda una segunda relación $u_1' y_1' + u_2' y_2' = g$, donde $g$ es el término independiente (normalizado, con coeficiente principal $1$).

El wronskiano. Esas dos relaciones forman un sistema lineal en $u_1'$ y $u_2'$ cuyo determinante es el wronskiano de la base, $W = y_1 y_2' - y_1' y_2$. Resolviéndolo se obtiene $$u_1' = -\frac{y_2\,g}{W},\qquad u_2' = \frac{y_1\,g}{W}.$$ Basta integrar estas dos expresiones para tener $u_1$ y $u_2$, y con ellas la particular $y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2$. Toda la dificultad se traslada, pues, a resolver dos integrales.

Por ejemplo, para $y'' + y = \tan x$ la base es $y_1 = \sin x$, $y_2 = \cos x$ y $W = -1$; las derivadas quedan $u_1' = \sin x$ y $u_2' = -\sin x\tan x$, y al integrarlas se llega a la particular. Coeficientes indeterminados no habría podido con $\tan x$, pero la variación de parámetros sí, porque solo pide saber integrar.

La variación de parámetros convive con coeficientes indeterminados: cuando el término independiente es sencillo, ambos métodos llegan a la misma particular y son dos vías alternativas; cuando no lo es, la variación de parámetros es la única de las dos que funciona. En la calculadora, al introducir una ecuación como $y'' + y = \tan x$ o $y'' + y = \sec x$ en el operador de ecuaciones diferenciales se muestra la base homogénea, el wronskiano y las dos integrales desarrolladas paso a paso.