← Blog

La regla del cociente: de dónde sale y cómo se aplica

2026-10-27

La regla del cociente da la derivada de una función que es el cociente de otras dos. Si $f$ y $g$ son derivables en un punto y $g$ no se anula en él, $$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}.$$ Se lee así: derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el denominador al cuadrado. A diferencia de la regla del producto, aquí el orden importa, porque la resta no es conmutativa.

De dónde sale. El cociente puede escribirse como un producto, $\tfrac{f}{g}=f\cdot g^{-1}$. Por la regla de la cadena, $\left(g^{-1}\right)'=-g^{-2}\,g'=-\tfrac{g'}{g^{2}}$, y por la regla del producto $$\left(\frac{f}{g}\right)'=f'\cdot\frac{1}{g}+f\cdot\left(-\frac{g'}{g^{2}}\right)=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}},$$ tras reducir a denominador común. La regla no es, por tanto, un resultado independiente: es la del producto aplicada a $f$ y a $1/g$.

Un ejemplo. Para $\tfrac{x^{2}+1}{x-3}$ se tiene $f=x^{2}+1$, con $f'=2x$, y $g=x-3$, con $g'=1$. Entonces $$\left(\frac{x^{2}+1}{x-3}\right)'=\frac{2x\,(x-3)-\left(x^{2}+1\right)}{(x-3)^{2}}=\frac{x^{2}-6x-1}{(x-3)^{2}}.$$ Conviene desarrollar el numerador, pero no el denominador: dejarlo como un cuadrado muestra que es positivo, de modo que el signo de la derivada, que decide dónde crece y dónde decrece la función, es el del numerador.

Cuándo no hace falta. Si el denominador es constante, basta derivar el numerador y dividir: $\left(\tfrac{x^{3}}{5}\right)'=\tfrac{3x^{2}}{5}$. Si el numerador es constante, es más cómodo escribir $\tfrac{c}{g}=c\,g^{-1}$ y aplicar la regla de la cadena: $\left(\tfrac{1}{x^{2}+1}\right)'=-\tfrac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$. Y si el cociente se puede simplificar, se simplifica antes: $\tfrac{x^{2}-1}{x-1}=x+1$ para $x\neq1$, cuya derivada es $1$.

Errores frecuentes. El más habitual es derivar por separado numerador y denominador, $\left(\tfrac{f}{g}\right)'\neq\tfrac{f'}{g'}$: con $\tfrac{x}{x}=1$, cuya derivada es $0$, esa fórmula daría $1$. También son frecuentes invertir el orden de la resta, que cambia el signo del resultado, y olvidar elevar al cuadrado el denominador.

Una aplicación. La derivada de la tangente sale de la regla del cociente: $$\left(\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}\right)'=\frac{\cos x\cos x-\operatorname{sen}x\,(-\operatorname{sen}x)}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}=1+\tan^{2}x.$$

Con la calculadora. La calculadora de derivadas aplica la regla del cociente y deriva por separado el numerador y el denominador, con el detalle de cada regla. Pueden probarse (x^2+1)/(x-3), tan(x) o x/(x^2+1).