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Recurrencias lineales: la ecuación característica y la fórmula de Binet

2026-10-27

Una recurrencia lineal de coeficientes constantes de orden $k$ expresa cada término como combinación lineal fija de los $k$ anteriores: $$a(n+k)=c_{k-1}\,a(n+k-1)+\dots+c_{0}\,a(n).$$ Con $k$ valores iniciales la sucesión queda determinada. El ejemplo más conocido es la sucesión de Fibonacci, $F(n+2)=F(n+1)+F(n)$ con $F(0)=0$ y $F(1)=1$, que da $0,1,1,2,3,5,8,13,\dots$ Calcular término a término es sencillo, pero una fórmula cerrada da $F(n)$ directamente y muestra cómo crece la sucesión. Este artículo explica cómo obtenerla.

La ecuación característica. Se prueba una solución de la forma $a(n)=r^{n}$, con $r\neq0$. Desplazar el índice multiplica $r^{n}$ por $r$, así que la recurrencia de Fibonacci se convierte en $r^{n+2}=r^{n+1}+r^{n}$ y, al dividir entre $r^{n}$, en la ecuación característica $$r^{2}=r+1.$$ Sus raíces son $\varphi=\tfrac{1+\sqrt5}{2}$, el número áureo, y $\psi=\tfrac{1-\sqrt5}{2}$. Es la misma idea que en las ecuaciones diferenciales lineales, donde se prueba $e^{rx}$ porque derivar la multiplica por $r$.

Superposición. Como la recurrencia es lineal, cualquier combinación lineal de soluciones es también solución. Con $k$ raíces distintas se obtienen $k$ soluciones independientes y la solución general es su combinación; para Fibonacci, $$a(n)=C_{0}\,\psi^{n}+C_{1}\,\varphi^{n}.$$ Si una raíz $r$ es doble, aporta $r^{n}$ y $n\,r^{n}$: en $a(n+2)-2a(n+1)+a(n)=0$ la raíz doble $r=1$ da $a(n)=C_{0}+C_{1}\,n$. Un par de raíces complejas $\rho\,e^{\pm i\theta}$ aporta $\rho^{n}\left(C_{0}\cos n\theta+C_{1}\operatorname{sen}n\theta\right)$, que es real.

Las condiciones iniciales. Los valores iniciales fijan las constantes mediante un sistema lineal. Para Fibonacci, $F(0)=0$ da $C_{0}+C_{1}=0$ y $F(1)=1$ da $C_{0}\,\psi+C_{1}\,\varphi=1$; como $\varphi-\psi=\sqrt5$, resulta $C_{1}=\tfrac{1}{\sqrt5}$ y $C_{0}=-\tfrac{1}{\sqrt5}$. Es la fórmula de Binet: $$F(n)=\frac{\varphi^{n}-\psi^{n}}{\sqrt5}.$$ (La calculadora escribe $\tfrac{\sqrt5}{5}$ en lugar de $\tfrac{1}{\sqrt5}$: es el mismo número, racionalizado.)

Lo que dice la fórmula. Una expresión con raíces irracionales da siempre números enteros. Como $|\psi|<1$, el término $\psi^{n}/\sqrt5$ tiende a $0$ y, en valor absoluto, es menor que $\tfrac12$: $F(n)$ es el entero más próximo a $\varphi^{n}/\sqrt5$, la sucesión crece geométricamente con razón $\varphi\approx1{,}618$ y el cociente $F(n+1)/F(n)$ tiende al número áureo.

Otras vías. La misma fórmula se obtiene con la función generatriz $A(z)=\sum_{n\ge0}a_{n}z^{n}$: la recurrencia se convierte en la ecuación algebraica $A(z)=\tfrac{z}{1-z-z^{2}}$, y su descomposición en fracciones simples da los coeficientes. También con la potencia de una matriz, porque $\begin{pmatrix}F(n+1)\\F(n)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^{n}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ y esa potencia se calcula diagonalizando. Cuando la recurrencia tiene término independiente, la solución es la general de la homogénea más una particular, como en las ecuaciones diferenciales lineales.

Con la calculadora. La calculadora de recurrencias plantea la ecuación característica, construye la solución raíz a raíz, fija las constantes con los valores iniciales y ofrece la vía de la función generatriz. Pueden probarse a(n+2)=a(n+1)+a(n), a(0)=0, a(1)=1, a(n+2)-2*a(n+1)+a(n)=0 o a(n+1)=2*a(n)+1, a(0)=0.