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Operaciones con radicales: extraer factores, sumar semejantes y racionalizar

2026-10-11

La raíz $n$-ésima de un número $a$ es el número $b$ que cumple $b^{n}=a$; si $n$ es par se exige $a\ge0$ y se toma $b\ge0$. Escrita como potencia, $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$, y esa notación explica todas sus propiedades, que no son sino las de las potencias: $$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b},\qquad \sqrt[n]{\tfrac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\qquad \left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}=\sqrt[n]{a^{m}},\qquad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m n]{a}.$$ Este artículo las aplica a las operaciones habituales: simplificar un radical, sumar, multiplicar y dividir radicales, elevarlos a una potencia y racionalizar denominadores.

Extracción de factores. Para simplificar $\sqrt[n]{a}$ se descompone el radicando en factores primos y se divide cada exponente entre el índice: si $e=q\,n+r$, con $0\le r<n$, entonces $p^{e}=\left(p^{q}\right)^{n}p^{r}$ y $\sqrt[n]{p^{e}}=p^{q}\sqrt[n]{p^{r}}$. El cociente indica lo que sale de la raíz y el resto, lo que queda dentro. Por ejemplo, $$\sqrt{72}=\sqrt{2^{3}\cdot3^{2}}=2\cdot3\sqrt{2}=6\sqrt{2},\qquad \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{2\cdot3^{3}}=3\sqrt[3]{2}.$$ La operación inversa, introducir un factor en la raíz, eleva el factor al índice: $3\sqrt{2}=\sqrt{3^{2}\cdot2}=\sqrt{18}$.

Simplificación del índice. Si el índice y todos los exponentes del radicando tienen un divisor común $d$, pueden dividirse todos por $d$, porque $a^{m d/(n d)}=a^{m/n}$: $\sqrt[4]{9}=\sqrt[4]{3^{2}}=\sqrt{3}$ y $\sqrt[6]{8}=\sqrt[6]{2^{3}}=\sqrt{2}$. Cuando el divisor común coincide con el índice, la raíz es exacta: $\sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{2^{6}}=2$.

Suma y resta: radicales semejantes. Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando, y solo entonces pueden sumarse, por la propiedad distributiva: $c_{1}\sqrt[n]{a}+c_{2}\sqrt[n]{a}=(c_{1}+c_{2})\sqrt[n]{a}$. Con frecuencia la semejanza solo aparece tras extraer factores: $$\sqrt{8}+\sqrt{18}-\sqrt{50}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-5\sqrt{2}=(2+3-5)\sqrt{2}=0.$$ La raíz no es aditiva: $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$, mientras que $\sqrt{9+16}=5$; por eso $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ no se simplifica y se deja indicado.

Producto y cociente. Con el mismo índice, los radicandos se multiplican o se dividen bajo una sola raíz, y los coeficientes, por separado: $2\sqrt{3}\cdot5\sqrt{6}=10\sqrt{18}=30\sqrt{2}$ y $\sqrt{18}:\sqrt{2}=\sqrt{9}=3$. Con índices distintos se reducen antes a un índice común, el mínimo común múltiplo de los índices, elevando cada radicando al factor correspondiente: $$\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{2^{3}}\cdot\sqrt[6]{2^{2}}=\sqrt[6]{2^{5}}=\sqrt[6]{32}.$$

Potencias e identidades notables. Una potencia de un radical eleva el radicando: $\left(\sqrt{5}\right)^{3}=\sqrt{5^{3}}=5\sqrt{5}$, y si el exponente es múltiplo del índice la raíz desaparece: $\left(2\sqrt{3}\right)^{2}=4\cdot3=12$. Las identidades notables se aplican igual que con números o polinomios: $\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$ y $\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)=3-1=2$. Esta última, la suma por diferencia, es la base de la racionalización con conjugados.

Racionalización. Racionalizar consiste en transformar una fracción en otra equivalente sin raíces en el denominador. Si el denominador es un radical $\sqrt[n]{a^{k}}$ con $k<n$, se multiplican el numerador y el denominador por $\sqrt[n]{a^{n-k}}$, que completa una potencia de exponente $n$: $$\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2},\qquad \frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2^{2}}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}.$$ Si el denominador es un binomio con raíces cuadradas, se multiplica por su conjugado —el mismo binomio con el signo central cambiado—, porque $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ eleva al cuadrado cada término y elimina las raíces: $$\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}.$$ El resultado es más cómodo de operar y de aproximar, y da a cada número una forma única con la que comparar.

Con la calculadora. La calculadora de radicales conserva cada radical tal como se escribe hasta que una operación lo utiliza, de modo que $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$ se resuelve como $\sqrt{16}=4$, igual que se haría a mano. Para cada operación muestra la descomposición en factores primos, la agrupación de los radicales semejantes, la reducción a índice común o la racionalización, según corresponda. Admite sqrt(72), √8, root(54, 3) y 2^(1/3).