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La serie de Fourier por series de potencias: coeficientes sin integrales

2026-07-27

La forma habitual de calcular una serie de Fourier es integrar: el coeficiente $n$-ésimo es $\tfrac{1}{2\pi}\int f\,e^{-inx}\,dx$. Pero hay una familia de funciones para las que esa integral es muy costosa —o directamente no cierra— y que, sin embargo, tienen coeficientes inmediatos por otra vía: las que se pueden escribir como $g(e^{ix})$ con $g$ analítica en el origen.

La idea. Si $g$ admite un desarrollo en serie de potencias $g(z)=\sum_k c_k\,z^k$, basta sustituir $z=e^{ix}$ para obtener $f(x)=g(e^{ix})=\sum_k c_k\,e^{ikx}$. Y esa ya es una serie de Fourier: por la ortogonalidad de las exponenciales $\{e^{ikx}\}$, los coeficientes $c_k$ del desarrollo de potencias son exactamente los coeficientes de Fourier. No hay que integrar; basta desarrollar $g$ en serie de Taylor, o reconocer una serie geométrica.

Ejemplos. Para $f(x)=\ln(1+e^{ix})$, el desarrollo $\ln(1+z)=\sum_{k\ge 1}\tfrac{(-1)^{k+1}}{k}z^k$ da directamente $c_k=\tfrac{(-1)^{k+1}}{k}$. Para la geométrica $\tfrac{1}{1-\frac12 e^{ix}}$, el desarrollo $\tfrac{1}{1-z/2}=\sum_{k\ge 0}2^{-k}z^k$ da $c_k=2^{-k}$. Y para $e^{e^{ix}}$, la serie de la exponencial da $c_k=\tfrac{1}{k!}$. En los tres casos la integral es intratable, pero el coeficiente general sale en una línea.

El signo del exponente. Una función puede desarrollarse en $e^{ix}$ (frecuencias positivas) o en $e^{-ix}$ (frecuencias negativas). La elección no es libre: hay que quedarse con la que hace que la serie converja sobre el círculo unidad $|z|=1$, que es donde vive $z=e^{ix}$. Por ejemplo, $\tfrac{1}{1-\frac13 e^{-ix}}$ desarrollada en $e^{ix}$ daría coeficientes $3^k$ que crecen sin tope —una serie que no converge—; desarrollada en $e^{-ix}$ da $3^{-k}$, que sí converge. El criterio de convergencia decide el signo correcto.

En senos y cosenos. El resultado anterior está en la base exponencial. Si se prefiere la base real, basta aplicar la fórmula de Euler $e^{ikx}=\cos(kx)+i\,\sin(kx)$ término a término para reescribir la serie con senos y cosenos.

Este método convive con el de las integrales: hay funciones que se resuelven de las dos formas y otras —como los ejemplos de arriba— solo por series de potencias. En la calculadora se puede probar escribiendo $\ln(1+e^{ix})$, $\tfrac{1}{1-\frac12 e^{ix}}$ o $e^{e^{ix}}$ en el operador de series de Fourier y desplegando los pasos.