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Integrales de raíces de cuadráticas por coeficientes indeterminados

2026-07-27

Las integrales de la forma $\int \sqrt{a^2-x^2}\,dx$, $\int \sqrt{x^2+b^2}\,dx$ o $\int \sqrt{x^2-c^2}\,dx$ se resuelven clásicamente por sustitución trigonométrica. Hay una alternativa que evita el cambio de variable y se generaliza con naturalidad: el método de coeficientes indeterminados.

La forma de la primitiva. Para un cociente de un polinomio entre la raíz de una cuadrática $X=ax^2+bx+c$, la primitiva tiene siempre la estructura $$\int \frac{P(x)}{\sqrt{X}}\,dx = Q(x)\,\sqrt{X} + \lambda\!\int\! \frac{dx}{\sqrt{X}},$$ donde $Q$ es un polinomio de un grado menos que $P$ y $\lambda$ una constante. La integral de $\sqrt{X}$ entra en este esquema escribiendo $\sqrt{X}=X/\sqrt{X}$, es decir, con $P=X$.

Cómo se fijan las incógnitas. Se derivan ambos lados y se multiplica por $\sqrt{X}$: queda una identidad entre polinomios entre $P(x)$ y una expresión que depende de los coeficientes de $Q$ y de $\lambda$. Igualar los coeficientes de cada potencia de $x$ da un sistema lineal que los determina sin adivinar. El número de incógnitas —los coeficientes de $Q$ más uno, por $\lambda$— crece con el grado del numerador: para $\int\sqrt{X}\,dx$ son tres; para $\int x^2/\sqrt{X}\,dx$, también; en general, tantas como el grado de $P$ más uno.

La integral que queda. El único término sin resolver es $\int dx/\sqrt{X}$. Tras completar el cuadrado —centrar la cuadrática—, es una integral inmediata: un arcoseno si $a<0$ (la forma $\sqrt{A^2-u^2}$), o un logaritmo —equivalente a un arcoseno hiperbólico o al argumento del coseno hiperbólico— si $a>0$. Así, $\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\tfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\tfrac{a^2}{2}\arcsin\tfrac{x}{a}$.

El método cubre las tres formas clásicas, cualquier cuadrática con término lineal como $\sqrt{c^2-x^2+x}$ —donde completar el cuadrado desplaza el centro— y numeradores polinómicos como $\int x^2/\sqrt{x^2+1}$. No se extiende, en cambio, a radicandos de grado mayor ni a raíces de orden superior: ahí las primitivas dejan de ser elementales (integrales elípticas).

En la calculadora, escribir $\sqrt{a^2-x^2}$ o $x^2/\sqrt{x^2+1}$ en el operador de integrales muestra este método paso a paso —con la derivada, el sistema resuelto por Gauss, Cramer y matriz inversa, y la integral final desarrollados— junto a la sustitución trigonométrica como vía alternativa.