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Sustitución de Weierstrass: racionalizar integrales trigonométricas

2026-07-01

La sustitución de Weierstrass $t=\tan\tfrac{x}{2}$ es el cambio universal para integrar funciones racionales en senos y cosenos: siempre las convierte en una función racional en $t$, que ya sabemos integrar por fracciones simples.

Las fórmulas salen de las identidades del ángulo mitad: $$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt.$$ Sustituyendo, el integrando trigonométrico se vuelve un cociente de polinomios en $t$. Por ejemplo, $\int_0^\pi\tfrac{dx}{1+\cos^2 x}$ se transforma en $\int_0^\infty\tfrac{t^2+1}{t^4+1}\,dt$, resoluble por fracciones simples.

En la integral definida conviene además transformar los límites ($t=\tan\tfrac a2\to\tan\tfrac b2$; p. ej. $[0,\pi]\to[0,\infty)$): así se evitan las ambigüedades de rama del $\arctan(\tan x)$ que ensucian la primitiva directa. En la indefinida se deshace el cambio al final para volver a $x$.

Weierstrass siempre funciona, pero suele subir el grado del denominador (a menudo a un polinomio de grado cuatro), así que no siempre es el camino más corto: para las fracciones trigonométricas con simetría, las reglas de Bioche dan un cambio más sencillo. La calculadora de MathOperator aplica Weierstrass automáticamente en ejemplos como 1/(1+cos(x)^2) from 0 to pi o 1/sin(x).