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Series de Fourier: cómo calcular los coeficientes paso a paso

2026-07-01

Toda función periódica «razonable» puede escribirse como una suma de senos y cosenos: $$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos n\omega x + b_n\sin n\omega x\bigr),\qquad \omega = \tfrac{2\pi}{P},$$ donde $P$ es el periodo. Los coeficientes $a_n, b_n$ forman el espectro de la señal: miden cuánto pesa cada armónico.

Los coeficientes se calculan por sus fórmulas integrales —$a_n = \tfrac{2}{P}\int f(x)\cos(n\omega x)\,dx$ y análogamente $b_n$— y se simplifican usando que, para $n$ entero, $\sin(n\pi)=0$ y $\cos(n\pi)=(-1)^n$. El resultado es una sucesión cerrada: para $f(x)=x^2$ en $[-\pi,\pi]$, por ejemplo, $a_n = \tfrac{4(-1)^n}{n^2}$ con $a_0=\tfrac{\pi^2}{3}$, y la serie es $\tfrac{\pi^2}{3} - 4\cos x + \cos 2x - \cdots$

De dónde salen las fórmulas (ortogonalidad). Las fórmulas integrales de los coeficientes no se postulan: salen de una propiedad de los senos y cosenos, la ortogonalidad. Sobre un periodo, la integral del producto de dos armónicos distintos se anula, y la de cada uno consigo mismo da una constante: $$\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx = \begin{cases}0 & m\neq n\\ \pi & m=n\end{cases},\qquad \int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\sin(nx)\,dx = 0,$$ y lo mismo para $\int\sin\sin$ (se comprueban con las identidades producto-a-suma). Así, si $f = a_0 + \sum_n (a_n\cos nx + b_n\sin nx)$, al multiplicar por $\cos(mx)$ e integrar sobre el periodo la ortogonalidad elimina todos los términos menos uno —el de $a_m$—, y despejar da $a_m = \tfrac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} f\cos(mx)\,dx$. Cada coeficiente es, pues, la «proyección» de $f$ sobre su armónico, igual que las coordenadas de un vector sobre una base ortogonal.

La simetría ahorra la mitad del trabajo: si $f$ es par no hay senos ($b_n=0$); si es impar no hay cosenos ($a_0=a_n=0$). Los ejemplos clásicos cubren los cuatro tipos de onda: x (diente de sierra, impar), Abs(x) (triangular, par), sign(x) (cuadrada, impar) y x^2 (parabólica, par). Las sumas parciales convergen a la función, con el característico rizado de Gibbs en los saltos.

La calculadora de series de Fourier de MathOperator desarrolla cada coeficiente por su fórmula integral, detecta la simetría y dibuja la convergencia de las sumas parciales con un control del número de armónicos; el intervalo del periodo se fija con from a to b. Las series de las ondas más comunes están recogidas en la tabla de series de Fourier.