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Reducción de orden: una segunda solución a partir de una conocida

2026-07-28

Una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea, $a_2(x)\,y'' + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = 0$, tiene su solución general formada por dos soluciones independientes. Cuando ya se conoce una de ellas —a menudo por tanteo, porque salta a la vista, como $y_1 = x$ o $y_1 = e^x$—, hay un método sistemático para obtener la segunda: la reducción de orden. Es especialmente útil con coeficientes variables, donde la ecuación característica no se aplica.

El cambio de variable. Se busca la segunda solución con la forma $y = v(x)\,y_1$, es decir, la conocida multiplicada por una función $v$ por determinar. Al sustituir en la ecuación y agrupar, ocurre algo clave: como $y_1$ ya es solución, el término en $v$ sin derivar se cancela. Lo que queda solo contiene $v'$ y $v''$: $$y_1\,v'' + \left(2y_1' + P\,y_1\right)v' = 0,$$ donde $P = a_1/a_2$. Es, en la práctica, una ecuación de primer orden en la incógnita $v'$: por eso el método «reduce el orden».

Resolver e integrar. Esa ecuación en $v'$ es separable, y su solución es $$v' = \frac{e^{-\int P\,dx}}{y_1^{2}}.$$ El numerador $e^{-\int P\,dx}$ es el factor que aparece en el wronskiano de la ecuación. Integrando una vez más se obtiene $v$, y con ella la segunda solución $y_2 = v\,y_1$. Por construcción, $y_2$ es independiente de $y_1$, así que la general es $y = C_1 y_1 + C_2 y_2$.

Por ejemplo, en $x^2 y'' - 2x y' + 2y = 0$ se ve que $y_1 = x$ es solución; el método da $v' = 1$, luego $v = x$ y $y_2 = x^2$, y la general $y = C_1 x + C_2 x^2$. Y en $x\,y'' - (x+1)y' + y = 0$, con $y_1 = e^x$, se llega a $y_2 = x + 1$.

El método necesita conocer una primera solución, igual que la resolución de una ecuación de Riccati parte de una solución particular. En la calculadora, al introducir una ecuación de segundo orden homogénea con una solución sencilla —como $x^2 y'' - 2x y' + 2y = 0$— se muestra el tanteo de $y_1$, el cambio $y = v\,y_1$ y la construcción de la segunda solución paso a paso.