← Blog

Ecuaciones diferenciales homogéneas: el cambio v = y/x

2026-07-28

Una ecuación diferencial de primer orden es homogénea cuando puede escribirse como $$y' = f\!\left(\tfrac{y}{x}\right),$$ es decir, cuando el segundo miembro depende solo del cociente $y/x$ y no de $x$ e $y$ por separado. Esta estructura permite un cambio de variable que la reduce a una ecuación de variables separables, que ya se sabe integrar.

El cambio de variable. Se introduce $v = y/x$, o equivalentemente $y = v\,x$. Derivando este producto respecto a $x$ se obtiene $y' = v + x\,v'$. Al sustituir en la ecuación, el segundo miembro pasa a ser $f(v)$: $$v + x\,v' = f(v).$$ El término $v$ se cancela y queda $x\,v' = f(v) - v$, que es separable: agrupando cada variable en un lado, $$\frac{dv}{f(v) - v} = \frac{dx}{x}.$$

Integrar y deshacer el cambio. Se integran los dos lados —el derecho da $\log|x| + C$— y, una vez obtenida la relación entre $v$ y $x$, se deshace el cambio poniendo $v = y/x$ para volver a la variable original. Por ejemplo, $y' = \tfrac{y}{x} + \tan\tfrac{y}{x}$ da $f(v) - v = \tan v$, y la integral $\int \tfrac{dv}{\tan v} = \log|\sin v|$ conduce a $\log|\sin(y/x)| = \log|x| + C$.

Cuándo aparece como alternativa. Una misma ecuación puede pertenecer a varias familias a la vez. Por ejemplo, $y' = \tfrac{x+y}{x}$ es lineal (se resuelve con un factor integrante) y también homogénea; y $y' = \tfrac{x^2+y^2}{xy}$ es de Bernoulli y homogénea. En estos casos el cambio $v = y/x$ es una vía alternativa, igual de válida, para llegar a la misma solución.

Reconocer que una ecuación es homogénea es, en la práctica, comprobar que al sustituir $y = v\,x$ desaparecen $x$ e $y$ y queda una función solo de $v$. En la calculadora, escribir $y' = y/x + \tan(y/x)$ en el operador de ecuaciones diferenciales muestra el cambio, la ecuación separable resultante y la vuelta a la variable original paso a paso.