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La ecuación de Clairaut: una familia de rectas y su envolvente

2026-07-28

La ecuación de Clairaut es una ecuación diferencial de primer orden con una forma muy particular: $$y = x\,y' + f(y'),$$ es decir, la función es igual a $x$ por su derivada más una expresión que depende solo de la derivada. Su interés está en que tiene dos soluciones de naturaleza distinta —una familia de rectas y una curva que las envuelve— y en que ambas salen de un mismo cálculo breve.

Derivar una vez. Si se deriva la ecuación respecto a $x$ y se usa que $\tfrac{d}{dx}(x\,y')= y' + x\,y''$, el término $y'$ aparece a ambos lados y se cancela: queda $$\left(x + f'(y')\right)y'' = 0.$$ Un producto es cero cuando lo es alguno de sus factores, y cada factor da una solución.

La solución general: una familia de rectas. El primer factor, $y'' = 0$, significa que $y'$ es constante; llamándola $C$, la ecuación original se convierte en $y = Cx + f(C)$. Es una recta por cada valor de $C$: la solución general es toda esa familia. Por ejemplo, para $y = x\,y' + (y')^2$ es $y = Cx + C^2$.

La solución singular: la envolvente. El segundo factor, $x + f'(y') = 0$, no contiene ninguna constante arbitraria: describe una curva concreta. Tomando $p = y'$ como parámetro, de $x = -f'(p)$ y $y = x\,p + f(p)$ se elimina $p$ y queda la solución singular. Geométricamente es la envolvente de la familia de rectas: la curva tangente a todas ellas. Para el ejemplo anterior, $x = -2p$ da $p = -x/2$ y la envolvente $y = -x^2/4$, una parábola a la que todas las rectas $y = Cx + C^2$ son tangentes.

La solución singular es notable porque no se obtiene dando un valor a la constante de la general: es una solución aparte, propia de este tipo de ecuación. En la calculadora, escribir $y = x\,y' + (y')^2$ en el operador de ecuaciones diferenciales muestra las dos ramas paso a paso, con la familia de rectas y su envolvente.