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El criterio del sándwich (teorema del emparedado): cómo calcular un límite sin tocar la función

2026-09-17

Hay límites que no se dejan calcular por sustitución, ni por L'Hôpital, ni por equivalencias: $x\sin(1/x)$ cuando $x\to0$ oscila infinitas veces en cualquier entorno del origen y la derivada no ayuda en nada. Para ellos existe una herramienta de otra naturaleza, que no manipula $f$ sino que la encierra: el criterio del sándwich, también llamado teorema del emparedado o de compresión. Este artículo lo enuncia y lo demuestra, deduce de él el corolario que más se usa —un factor acotado por uno que tiende a cero—, examina qué ocurre cuando ese corolario no aplica (el límite no existe, y también hay que saber demostrarlo), y lo aplica a la parte entera, a las sumas de $n$ términos y al límite fundacional de la trigonometría.

Enunciado. Sean $f$, $g$ y $h$ definidas en un entorno reducido de $a$ (o para todo $x$ suficientemente grande, si $a=\infty$) con $$g(x)\le f(x)\le h(x)$$ en ese entorno. Si $\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$, entonces existe $\lim_{x\to a}f(x)$ y vale $L$. El enunciado para sucesiones es idéntico con $n\to\infty$, y $L$ puede ser $\pm\infty$ con una sola cota: si $f\ge g$ y $g\to+\infty$, entonces $f\to+\infty$ (el «sándwich por un lado», que es el criterio de comparación).

Demostración. Sea $\varepsilon>0$. Como $g\to L$, existe $\delta_1$ tal que $L-\varepsilon<g(x)$ si $0<|x-a|<\delta_1$; como $h\to L$, existe $\delta_2$ tal que $h(x)<L+\varepsilon$ si $0<|x-a|<\delta_2$. Con $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$ y $0<|x-a|<\delta$ se encadenan las cuatro desigualdades: $$L-\varepsilon<g(x)\le f(x)\le h(x)<L+\varepsilon,$$ es decir, $|f(x)-L|<\varepsilon$. Eso es exactamente la definición de $\lim f=L$. Obsérvese que no se ha supuesto nada sobre $f$ salvo estar entre $g$ y $h$: ni continuidad, ni derivabilidad, ni siquiera que su límite exista de antemano; el teorema lo garantiza. Para la versión infinita basta la mitad del argumento: si $g\to+\infty$, para todo $K$ existe $\delta$ con $g(x)>K$, y entonces $f(x)\ge g(x)>K$.

El corolario que más se usa: acotado por infinitésimo. Si $|b(x)|\le M$ en un entorno de $a$ y $r(x)\to0$, entonces $b(x)\,r(x)\to0$. La prueba es un sándwich sobre el valor absoluto: $$0\le|b(x)\,r(x)|\le M\,|r(x)|,$$ y como $M|r(x)|\to0$, también $|b\,r|\to0$, que equivale a $b\,r\to0$. De aquí salen de golpe $x\sin(1/x)\to0$ en el origen (con $|\sin(1/x)|\le1$ y $x\to0$), $\frac{\sin n}{n}\to0$, $\frac{(-1)^n}{n}\to0$, $e^{-x}\sin x\to0$ o $\frac{2+\sin x}{x}\to0$, este último con la cota $1\le2+\sin x\le3$, que en el infinito, donde $1/x>0$, se escribe en la forma de libro $\frac1x\le\frac{2+\sin x}{x}\le\frac3x$. Dos advertencias. La primera: el factor acotado no necesita tener límite —$\sin(1/x)$ no lo tiene en $0$— y precisamente por eso el producto no es un caso de «límite de un producto». La segunda: hace falta que el otro factor tienda a cero; acotado por acotado no da nada.

Cuando el factor no está domado: el límite no existe. ¿Qué ocurre con $\sin x$ cuando $x\to\infty$, o con $x\sin x$? Aquí no hay infinitésimo que aplaste la oscilación, y la respuesta correcta no es un intervalo ni un «no se sabe»: el límite no existe, y se demuestra con el criterio de las sucesiones. Si $\lim_{x\to a}f(x)=L$, entonces $f(x_k)\to L$ para toda sucesión $x_k\to a$; luego basta exhibir dos sucesiones con límites distintos. Para $\sin x$: en $x_k=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi$ vale siempre $1$ y en $x'_k=-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi$ vale siempre $-1$. Para $x\sin x$ las mismas sucesiones dan $x_k\to+\infty$ y $-x'_k\to-\infty$. Para $(-1)^n$: los pares dan $1$, los impares $-1$. Y para $\cos^2x$ hay que elegir mejor: en $2k\pi$ vale $1$ y en $\tfrac{\pi}{2}+k\pi$ vale $0$. Conviene insistir en que acotado no es convergente, y en que la acotación por sí sola no demuestra nada en ningún sentido: $\sin^2x+\cos^2x$ está acotada entre $0$ y $2$ y sin embargo tiene límite, porque vale $1$. Solo las sucesiones deciden.

La parte entera. La desigualdad $g-1<\lfloor g\rfloor\le g$ convierte cualquier límite con parte entera en un sándwich. Para $x\lfloor 1/x\rfloor$ cuando $x\to0$, multiplicando por $x$: si $x>0$, $$1-x<x\left\lfloor\tfrac1x\right\rfloor\le1,$$ y si $x<0$ las desigualdades se invierten; en ambos casos $f$ queda entre $1-x$ y $1$, que tienden a $1$, y el orden en que aparezcan las cotas es irrelevante para la conclusión. Del mismo modo $\frac{\lfloor x\rfloor}{x}\to1$ y $\frac{2\lfloor x\rfloor+1}{x}\to2$ en el infinito.

Sumas de $n$ términos. Un tipo de sucesión que aparece en todos los cursos: $$S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}.$$ No es una serie (el número de sumandos crece con $n$ y cada sumando depende de $n$), y no hay forma cerrada. Pero el término es decreciente en $k$, así que el más pequeño es el último y el más grande el primero: $$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le S_n\le\frac{n}{\sqrt{n^2+1}},$$ y ambas cotas tienden a $1$. Cuando esa acotación tan burda no decide, se afina acotando solo lo que depende de $k$ en el denominador: para $T_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2+k}$, acotar el término entero da $0\le T_n\le1$, inútil; pero $n^2+1\le n^2+k\le n^2+n$ deja $$\frac{\sum k}{n^2+n}\le T_n\le\frac{\sum k}{n^2+1},\qquad \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},$$ y las dos cotas tienden a $\tfrac12$. No toda suma de $n$ términos es un sándwich: $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}$ queda entre $\tfrac12$ y $1$ y su límite, $\ln2$, se obtiene reconociendo una suma de Riemann. Saber cuándo el criterio no decide es parte del criterio.

El ejemplo fundacional: $\sin x/x\to1$. El límite del que salen todas las equivalencias trigonométricas no puede demostrarse con L'Hôpital sin caer en un círculo vicioso (la derivada del seno se calcula, precisamente, con este límite). Se demuestra con un sándwich geométrico. Para $0<x<\tfrac{\pi}{2}$, en la circunferencia unidad el triángulo de vértices $O$, $(1,0)$ y $(\cos x,\sin x)$ está contenido en el sector circular de ángulo $x$, que a su vez está contenido en el triángulo rectángulo de cateto $1$ y altura $\tan x$. Comparando áreas, $$\frac{\sin x}{2}\le\frac{x}{2}\le\frac{\tan x}{2}\quad\Longrightarrow\quad \cos x\le\frac{\sin x}{x}\le1,$$ y como $\cos x\to1$, el cociente queda emparedado en $1$. Para $x<0$ basta observar que $\sin x/x$ es par. Otro clásico del mismo estilo: $\sqrt[n]{a^n+b^n}\to\max(a,b)$ para $a,b>0$, porque $\max(a,b)\le\sqrt[n]{a^n+b^n}\le\sqrt[n]{2}\,\max(a,b)$ y $\sqrt[n]{2}\to1$.

En MathOperator. La calculadora de límites aplica el criterio con reglas, no con casos: reconoce los factores acotados (las cotas de $\sin$, $\cos$ o la parte fraccionaria las obtiene el propio motor simbólico; $(-1)^n$ y $\cos(\pi n)$ van en una tabla mínima), sustituye la parte entera por sus dos cotas, y en las sumas de $n$ términos —con la sintaxis sum(1/sqrt(n^2+k), k, 1, n) at oo— acota el término si es monótono o solo el denominador si eso no decide. Cada vía se verifica contra el valor calculado por otro camino, y cuando el motor simbólico no sabe calcularlo —ocurre con (-1)^n/n at oo y con las sumas de $n$ términos— la regla aporta el valor, porque es un teorema. Si el factor oscilante no está domado, la respuesta es «no existe», demostrada con las dos sucesiones de arriba; y si el otro factor diverge, la comparación por un lado. Los pasos de cada una de estas vías enlazan aquí desde la solución.