Diagonalización

¿Qué es diagonalizar?

Diagonalizar una matriz $A$ es escribirla como $A = P\,D\,P^{-1}$, donde $D$ es diagonal. Los elementos de $D$ son los autovalores y las columnas de $P$, los autovectores: las direcciones que la matriz solo estira o encoge, sin rotar.

¿Cómo se calcula?

MathOperator obtiene el polinomio característico $\det(A - \lambda I) = 0$, resuelve sus raíces (los autovalores $\lambda$), calcula el autovector de cada uno y construye $P$ y $D$.

Ejemplos que puedes probar

Escribe [[2,1],[1,2]], una matriz simétrica con autovalores $1$ y $3$ y autovectores ortogonales.

Para qué sirve

La diagonalización simplifica el cálculo de potencias de matrices, resuelve sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y es clave en el análisis de componentes principales (PCA) y en mecánica cuántica.

Errores comunes

No toda matriz es diagonalizable: si un autovalor repetido no aporta suficientes autovectores independientes, el método falla. Y cada autovector debe ir en $P$ en la misma columna que su autovalor en $D$; cruzarlos rompe la igualdad $A = P\,D\,P^{-1}$.

Ejemplos

• [[2,1],[1,2]]
• [[1,1],[0,2]]
• [[3,0],[0,5]]
• [[0,1],[1,0]]