Potencia de una matriz

¿Por qué no multiplicar y ya?

Multiplicar $A$ por sí misma sirve si el exponente es un número pequeño, y aun así es trabajo bruto. Lo interesante es $A^{n}$ con $n$ simbólico: una fórmula que vale para todo $n$ a la vez. Y eso lo da la diagonalización.

¿Cómo se calcula?

Si $A = P\,D\,P^{-1}$, entonces $A^{n} = (PDP^{-1})(PDP^{-1})\cdots(PDP^{-1})$ y los $P^{-1}P$ de en medio se cancelan uno a uno, así que $A^{n} = P\,D^{n}\,P^{-1}$. Elevar una matriz diagonal es gratis: $D^{n}$ es la diagonal con cada autovalor $\lambda_i^{\,n}$. MathOperator hereda el desarrollo entero del operador de diagonalización (polinomio característico, autovalores, autovectores) y lo cuelga dentro de los pasos.

Ejemplos que puedes probar

Escribe [[1,1],[1,0]]^n (la matriz de Fibonacci: en sus entradas aparece el número áureo y sale la fórmula de Binet), [[2,1],[1,2]]^n (simétrica, autovalores $1$ y $3$) o [[a,0],[0,b]]^n (con parámetros: las entradas pueden ser símbolos).

Para qué sirve

Las potencias de matrices describen la evolución de un sistema discreto: cadenas de Markov (a dónde tiende un proceso aleatorio tras $n$ pasos), recurrencias lineales escritas en forma matricial y grafos (la entrada $(i,j)$ de $A^{n}$ cuenta los caminos de longitud $n$ entre dos nodos).

Errores comunes

Elevar cada entrada a la $n$ no da $A^{n}$ (solo funciona si $A$ es diagonal): hay que multiplicar la matriz por sí misma, o mejor diagonalizar. Y el atajo $A^{n} = P\,D^{n}\,P^{-1}$ exige que $A$ sea diagonalizable (con autovectores independientes).

Ejemplos

• [[1,1],[1,0]]^n
• [[2,1],[1,2]]^n
• [[a,0],[0,b]]^n
• [[2,0],[1,3]]^n